NCERT 10th math exercise 3.4

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NCERT प्रश्नावली 3.4

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विलोपन विधि से रैखिक समीकरण के युग्म का हल (Solving a Pair of Linear Equation using Elimination Method)

जब दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म को हल करने के लिए एक चर को वुलुप्त कर एक चर में एक रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं, तब इस विधि को विलोपन विधि (Elimination Method) कहते हैं।

विलोपन विधि से दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए आवश्यक चरण

चरण: 1. सर्वप्रथम दोनों समीकरणों को उपयुक्त शून्येतर अचरों से, किसी एक चर ($x$ अथवा $y$) के गुणांकों को संख्यात्मक रूप में समान करने के लिए गुणा किया जाता है।

चरण2: पुन: एक समीकरण को दूसरे समीकरण में जोड़ें या घटाएँ जिससे कि एक चर विलुप्त हो जाए। यदि आप एक चर में समीकरण पाते हैं, तो चरण 3 में जाइए।

यदि चरण 2 में, हमें चर रहित एक सत्य कथन प्राप्त हो, तो मूल समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

यदि चरण 2 में, हमें एक चर रहित असत्य कथन मोले, तो मूल समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है, अर्थात यह असंगत है।

चरण: 3: इस प्रकार एक चर ($x$ या $y$) के इस मान को मूल समीकरणों में से किसी एक मे, दूसरे चर का मान ज्ञात करने के लिए, प्रतिस्थापित कीजिए।

चरण: 4: $x$ (या $y$) के इस मान को मूल समीकरणों में से किसी एक में, दूसरे चर का मान ज्ञात करने के लिए, प्रतिस्थापित कीजिए।

उदारण :

मान लिया कि दो चरों में एक रैखिक समीकरण का युग्म है

$2x+3y=35$ ---------(i)

$3x+2y=40$ --------(ii)

चरण : 1 समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर

i.e. $3(2x+3y=35)$

$=6x+9y=105$ ---------(iii)

तथा समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं

i.e. $2(3x+2y=40)$

$\Rightarrow 6x+4y=80$ -----------(iv)

चरण : 2. अब समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर

$(6x+9y)-(6x+4y)=105-80$

चरण : 3.

$\Rightarrow 6x+9y-6x-4y=25$

$\Rightarrow 9y-4y=25$

$\Rightarrow 5y=25$

$\therefore y=\frac{25}{5}=5$

चरण : 4:

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर

$2x+3y=35$

$\Rightarrow 2x+3\times 5=35$

$\Rightarrow 2x+15=35$

$\Rightarrow 2x=35-15=20$

$\therefore x=\frac{20}{2}=10$

अत:, $x=10$ तथा $y=5$ उत्तर

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NCERT प्रश्नावली 3.4

प्रश्न संख्या: 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है?

(i) $x+y=5$ और

$2x-3y=4$

हल: दिया गया है,

$x+y=5$ ---------(i)

$2x-3y=4$ --------(ii)

विलोपन विधि से हल

समीकरण (i) को 3 से गुणा कर हम पाते हैं

$3(x+y=5)$

$\Rightarrow 3x+3y=15$ -------(iii)

अब समीकरण (ii) तथा समीकरण (iii) को जोड़ने पर हम पाते हैं

$2x-3y+3x+3y=4+15$

$\Rightarrow 2x+3x=19$

$\Rightarrow 5x=19$

$\Rightarrow x=\frac{19}{5}$

अब $x$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं

$\frac{19}{5}+y=5$

$\Rightarrow y=5-\frac{19}{5}$

$\Rightarrow y=(25-19)5=\frac{6}{5}$

अत:, $x=\frac{19}{5}$ तथा $y=\frac{6}{5}$ उत्तर

प्रतिस्थापन विधि से हल

दिया गया है,

$x+y=5$ ---------(i)

$2x-3y=4$ --------(ii)

समीकरण (i) से

$x+y=5$

$\Rightarrow x=5-y$ --------- (iii)

समीकरण (iii) से $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर

$2(5-y)-3y=4$

$\Rightarrow 10-2y-3y=4$

$\Rightarrow 10-5y=4$

$\Rightarrow -5y=4-10$

$\Rightarrow -5y=-6$

$\Rightarrow y=\frac{-6}{-5}$

$\Rightarrow y=\frac{6}{5}$ ------ (iv)

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर

$x+\frac{6}{5}=5$

$\Rightarrow x=5-\frac{6}{5}$

$\Rightarrow x=\frac{25-6}{5}$

$=x=\frac{19}{5}$

अत: $x=\frac{19}{5}$ तथा $y=\frac{6}{5}$ उत्तर

दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि दोनों ही उपयुक्त हैं।

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(ii) $3x+4y=10$;

$2x-2y=2$

हल:

दिया गया है, $3x+4y=10$ ---------- (i)

$2x-2y=2$ ---------- (ii)

विलोपन विधि से हल

समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं

$2(2x-2y=2)$

$\Rightarrow 4x-4y=4$ ----------(iii)

अब समीकरण (i) तथा समीकरण (iii) को जोड़ने पर

$(3x+4y)+(4x-4y)=10+4$

$\Rightarrow 3x+4y+4x-4y=14$

$\Rightarrow 7x=14$

$\therefore x=\frac{14}{7}=2$

अब $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$2\times 2-2y=2$

$\Rightarrow 4-2y=2$

$\Rightarrow -2y=2-4$

$\Rightarrow -2y=-4$

$\Rightarrow y=\frac{-4}{-2}=1$

अत:, $x=2$ तथा $y=1$ उत्तर

प्रतिस्थापन विधि से हल

दिया गया है, $3x+4y=10$ ---------- (i)

$2x-2y=2$ ---------- (ii)

बाँया पक्ष से 2 उभयनिष्ठ लेने पर

$\Rightarrow 2(x-y)=2$

$\Rightarrow x-y=\frac{2}{2}$

$\Rightarrow x-y=1$

$\Rightarrow x=1+y$ ----------- (iii)

अब समीकरण (iii) से $x$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$3(1+y)+4y=10$

$\Rightarrow 3+3y+4y=10$

$\Rightarrow 3+7y=10$

$\Rightarrow 7y=10-3=7$

$\Rightarrow y=\frac{7}{7}=1$

अब $y$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$2x-2\times 1=2$

$\Rightarrow 2x-2=2$

$\Rightarrow 2x=2+2=4$

$\Rightarrow x=\frac{4}{2}=2$

अत:, $x=2$ तथा $y=1$ उत्तर

दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि दोनों ही उपयुक्त हैं।

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(iii) $3x-5y-4=0$;

$9x=2y+7$

हल:

विलोपन विधि से हल

दिया गया है, $3x-5y-4=0$ ----------- (i)

$9x=2y+7$

$\Rightarrow 9x-2y-7=0$ ------------(ii)

समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$3(3x-5y-4=0)$

$\Rightarrow 9x-15y-12=0$ ------------(iii)

अब समीकरण (ii) को समीकरण (iii) से घटाने पर हम पाते हैं

$(9x-15y-12)-(9x-2y-7)=0-0$

$\Rightarrow 9x-15y-12-9x+2y+7=0$

$\Rightarrow -13y-5=0$

$\Rightarrow -13y=5$

$\Rightarrow y=-\frac{5}{13}$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर

$3x-5(-\frac{5}{13})-4=0$

$\Rightarrow 3x+\frac{25}{13}=4$

$\Rightarrow 3x=4-\frac{25}{13}$

$\Rightarrow 3x=\frac{52-25}{13}$

$\Rightarrow 3x=\frac{27}{13}$

$\Rightarrow x=27\frac{9}{13}\times \frac{1}{3}$

$\Rightarrow x=\frac{9}{13}$

अत:, $x=\frac{9}{13}$ तथा $y=-\frac{5}{13}$ उत्तर

प्रतिस्थापना विधि से हल

दिय गया है, $3x-5y-4=0$ ----------- (i)

$9x=2y+7$ ------------(ii)

समीकरण (i) से

$3x-5y-4=0$

$\Rightarrow 3x-5y=4$

$\Rightarrow 3x=4+5y$

$\Rightarrow x=\frac{4x+5y}{3}$ --------(iii)

अब $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं

$93\times \left(\frac{4+5y}{3}\right)=2y+7$

$\Rightarrow 3(4+5y)=2y+7$

$\Rightarrow 12+15y=2y+7$

$\Rightarrow 12-7+15y=2y$

$\Rightarrow 5+15y=2y$

$\Rightarrow 5=2y-15y$

$\Rightarrow -13y=5$

$\Rightarrow y=-\frac{5}{13}$

$y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$3x-5(-\frac{5}{13})-4=0$

$\Rightarrow 3x+\frac{25}{13}=4$

$\Rightarrow 3x=4-\frac{25}{13}$

$\Rightarrow 3x=(52-25)13$

$\Rightarrow 3x=\frac{27}{13}$

$\Rightarrow x=\frac{27}{13}\times \frac{1}{3}$

$\Rightarrow x=\frac{9}{13}$

अत:, $x=\frac{9}{13}$ तथा $y=-\frac{5}{13}$ उत्तर

दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि दोनों ही उपयुक्त हैं। परंतु विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

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(iv) $\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1$;

$x-\frac{y}{3}=3$

हल:

विलोपन विधि से हल

दिया गया है, $\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1$ --------(i)

$x-\frac{y}{3}=3$ --------------(ii)

समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$2(x-\frac{y}{3}=3)$

$\Rightarrow 2x-\frac{2y}{3}=6$ ----------(iii)

समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

$\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}+2x-\frac{2y}{3}=-1+6$

$\Rightarrow \frac{x}{2}+2x=5$

$\Rightarrow \frac{x+4x}{2}=5$

क्रॉस गुणा (बज्र गुणन (Cross multiplication)) करने पर हम पाते हैं कि

$x+4x=5\times 2=10$

$\Rightarrow 5x=10$

$\Rightarrow x=\frac{10}{5}=2$

अब $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$2-\frac{y}{3}=3$

$\Rightarrow -\frac{y}{3}=3-2=1$

क्रॉस गुणा (बज्र गुणन (Cross multiplication)) करने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow -y=3$

$\Rightarrow y=-3$

अत:, $x=2$ तथा $y=-3$ उत्तर

प्रतिस्थापना विधि से हल

दिया गया है, $\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1$ --------(i)

$x-\frac{y}{3}=3$ --------------(ii)

समीकरण (ii) से

$\Rightarrow x=3+\frac{y}{3}$

$\Rightarrow x=\frac{9+y}{3}$ -------- (iii)

$x$ का मान समीकरण (i) में रखने पर

$\Rightarrow \frac{9+y}{3}/2+\frac{2y}{3}=-1$

$\Rightarrow \frac{9+y}{3\times 2}+\frac{2y}{3}=-1$

$\Rightarrow \frac{9+y}{6}+\frac{2y}{3}=-1$

$\Rightarrow \frac{9+y+2\left(2y\right)}{6}=-1$

$\Rightarrow (9+y+4y)6=-1$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow 9+5y=-6$

$\Rightarrow 5y=-6-9$

$\Rightarrow 5y=-15$

$\Rightarrow y=-\frac{15}{3}=3$

अब $y$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर

$x-(-\frac{3}{3})=3$

$\Rightarrow x+1=3$

$\Rightarrow x=3-1=2$

$\therefore x=2$, तथा $y=-3$ उत्तर

दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि दोनों ही उपयुक्त हैं। परंतु विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

NCERT प्रश्नावली 3.4(भाग:2)

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प्रश्न संख्या: 2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :

(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें तो यह $\frac{1}{2}$ हो जाती है। वह भिन्न क्या है ?

हल:

मान लिया कि भिन्न $=\frac{x}{y}$

प्रश्न के अनुसार अंश में 1 जोड़ने तथा हर में 1 घटाने पर

$\frac{x+1}{y-1}=1$

क्रॉस गुणन करने पर हम पाते हैं कि

$x+1=y-1$

$\Rightarrow x=y-1-1$

$\Rightarrow x-y=-2$ -----------(i)

तथा प्रश्न के अनुसार हर में 1 जोड़ने पर

$\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}$

क्रॉस गुणन करने पर

$\Rightarrow 2x=y+1$

$\Rightarrow 2x-y=1$ --------(ii)

अब समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर हम पाते हैं कि

$(x-y)-(2x-y)=-2?1$

$\Rightarrow x-y-2x+y=-3$

$\Rightarrow -x=-3$

$\Rightarrow x=3$

अब $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$2\left(3\right)-y=1$

$\Rightarrow 6-y=1$

$\Rightarrow -y=1-6=-5$

$\Rightarrow y=5$

अत: दिया गया भिन्न $\frac{3}{5}$ है। उत्तर

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(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जायेगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है ?

हल:

मान लिया कि नूरी की वर्तमान आयु $=n$

तथा सोनू की वर्तमान आयु $=s$

अत: पाँच वर्ष पहले नूरी की आयु $=n-5$

तथा पाँच वर्ष पहले सोनू की आयु $=s-5$

अब प्रश्न के अनुसार

$n-5=3(s-5)$

$\Rightarrow n-5=3s-15$

$\Rightarrow n-3x=-15+5$

$\Rightarrow n-3s=-10$ --------(i)

अब से दस वर्ष बाद नूरी की आयु $=n+10$

तथा अब से दस वर्ष बाद सोनू की आयु $=s+10$

अत: प्रश्न के अनुसार

$n+10=2(s+10)$

$\Rightarrow n+10=2s+20$

$\Rightarrow n-2s=20-10$

$\Rightarrow n-2s=10$ --------(ii)

अब समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर हम पाते हैं कि

$(n-3s)-(n-2s)=-10-10$

$\Rightarrow n-3s-nn+2s=-20$

$\Rightarrow -s=-20$

$\Rightarrow s=20$

अब $s$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$n-2\times 20=10$

$\Rightarrow n-40=10$

$\Rightarrow n=10+40=50$

अत: नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष तथा सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष । उत्तर

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(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि संख्या का ईकाइ अंक $=x$

तथा संख्या का दहाई अंक $=y$

अत: संख्या $=10y+x$

अब प्रश्न के अनुसार

$x+y=9$ ------------(i)

संख्या को पलटने पर प्राप्त संख्या $=10x+y$

अत: प्रश्न के अनुसार

$9(10y+x)=2(10x+y)$

$\Rightarrow 90y+9x=20x+2y$

$\Rightarrow 90y-2y+9x-20x=0$

$\Rightarrow 88y-11x=0$

$\Rightarrow 11(8y-x)=0$

$\Rightarrow 8y-x=0$ -----------(ii)

अब समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

$(x+y)+(8y-x)=9+0$

$\Rightarrow x+y+8y-x=9$

$\Rightarrow 9y=9$

$\Rightarrow y=\frac{9}{9}=1$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$x+1=9$

$\Rightarrow x=9-1=8$

अत: दी गई संख्या $=10y+x=10\times 1+8=18$

अत: वांछित संख्या $=18$ उत्तर

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(iv) मीना Rs 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से Rs 50 तथा Rs 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने Rs 50 और Rs 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।

हल:

मान लिया कि Rs 50 के नोटों की संख्या $=x$

तथा मान लिया कि Rs 100 के नोटों की संख्या $=y$

अत: प्रश्न के अनुसार

$x+y=25$ -----------(i)

तथा $50x+100y=2000$

$\Rightarrow 50(x+2y)2000$

$\Rightarrow x+2y=\frac{2000}{50}$

$\Rightarrow x+2y=40$ ---------(ii)

अब समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर हम पाते हैं कि

$(x+2y)-(x+y)=40?25$

$\Rightarrow x+2y-x-y=15$

$\Rightarrow y=15$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$x+15=25$

$\Rightarrow x=25-15=10$

अत: Rs 50 के नोटों की संख्या = 10 तथा Rs 100 के नोटों की संख्या = 15 उत्तर

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(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए Rs 27 अदा दिए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के लिए Rs 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि पहले तीन दिनों के लिये पुस्तकालय का नियत भाड़ा = Rs $x$

तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए किराया = Rs $y$

प्रश्न के अनुसार

सरिता के द्वारा सात दिनों (3 नियत दिन + 4 अतिरिक्त दिन) के लिए दिया गया किराया $=27$ रू

अत: $x+4y=27$ ---------(i)

तथा उस स्थिति में जब सूसी ने 5 दिनों (3 नियत दिन + 2 अतिरिक्त दिन) के लिए 21 रू किराया दिया है।

अत: $x+2y=21$ -------------(ii)

अब समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर

$(x+4y)-(x+2y)=27-21$

$\Rightarrow x+4y-x-2y=6$

$\Rightarrow 2y=6$

$\Rightarrow y=\frac{6}{2}=3$

अब $y$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$x+2\times 3=21$

$\Rightarrow x+6=21$

$\Rightarrow x=21-6=15$

अत: प्रथम तीन दिनों के लिए नियत भाड़ा = Rs $15$ तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए किराया = Rs $3$ उत्तर