NCERT 10th math exercise 3.3

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एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि

प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

मान लिया कि दो चर वाले रैखिक समीकरण के युग्म है:

$x+y=11$ -------(i)

तथा $3x-2y=3$ -------(ii)

समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि द्वार हल करने के चरण

चरण : 1.किसी एक समीकरण को लेकर उसके किसी चर को दूसरे पदों लिखा जाता है। जैसे कि एक चर $y$ का मान दूसरे चर $x$ के पदों में।

उदारण : समीकरण (i) से

$x+y=11$

$\Rightarrow x=11-y$ ----------(iii)

चरण : 2. अब चर $x$ का मान समीकरण में प्रतिस्थापित कर, समीकरण को एक ही चर $y$ का बना दिया जाता है। फिर दूसरे चर $y$ के मान की गणना कर ली जाती है।

उदारण :समीकरण (iii) से $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$3(11-y)-2y=3$

$\Rightarrow 33-3y-2y=3$

$\Rightarrow 33-5y=3$

$\Rightarrow -5y=3-33$

$\Rightarrow -5y=-30$

$\therefore y=\frac{-30}{-5}=6$

चरण : 3. अब इस दूसरे चर जैसे कि $y$ का मान समीकरण में रखकर पहले चर जैसे कि $x$ के मान की गणना कर ली जाती है।

उदाहरण:

$y$ का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर

$x+6=11$

$\Rightarrow x=11-6=5$

अत:, $x=5$ तथा $y=6$ उत्तर

NCERT प्रश्नावली 3.3

प्रश्न संख्या: 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:

(i) $x+y=14$; $x-y=4$

हल:

दिया गया है, $x+y=14$ ------------(i)

$x-y=4$ -----------(ii)

अब समीकरण (i) $x+y=14$ से

$x=14-y$ ---------(iii)

अब समीकरण (iii) से $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं

$(14-y)-y=4$

$\Rightarrow 14-y-y=4$

$\Rightarrow 14-2y=4$

$\Rightarrow -2y=4-14=-10$

$\Rightarrow y=\frac{-10}{-2}=5$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर

$x+5=14$

$\Rightarrow x=14-5=9$

अत:, $x=9$ तथा $y=5$ उत्तर

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(ii) $s-t=3$; $\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$

हल:

दिया गया है, $s-t=3$ --------(i)

$\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$ ---------(ii)

अब, $s-t=3$

$\Rightarrow s=3+t$ ------(iii)

तथा, $\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$

$\Rightarrow \frac{2s+3t}{6}=6$

$\Rightarrow 2s+3t=6\times 6$

$\Rightarrow 2s+3t=36$

समीकरण (iii) से $s$ का मान उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow 2(3+t)+3t=36$

$\Rightarrow 6+2t+3t=36$

$\Rightarrow 5t=36-6=30$

$\therefore t=\frac{30}{5}=6$

अब $t=6$ का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं

$s-6=3$

$\Rightarrow s=3+6=9$

अत:, $s=9$ तथा $t=6$ उत्तर

(iii) $3x-y=3$; $9x-3y=9$

हल:

दिया गया है, $3x-y=3$ -------------(i)

$9x-3y=9$ -----------(ii)

अब, $3x-y=3$

$\Rightarrow 3x-3=y$

$\Rightarrow y=3x-3$ ----------(iii)

समीकरण (iii) से $y$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर

$9x-3(3x-3)=9$

$\Rightarrow 9x?9x+9=9$

$\Rightarrow 9=9$ जो कि सही है।

अब दिये गये रैखिक समीकरण युग्म से

$a_1=3,b_1=-1,c_1=-3$

तथा, $a_2=9,b_2=-3,c_2=-9$

अत:, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

तथा $\frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$

तथा $\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3}$

यहाँ चूँकि, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के अनगिनत हल हो सकते हैं।

अब समीकरण (i) $3x-y=3$ से

यदि $x=0$

$\therefore y=-3$

तथा, if $x=1$

$\Rightarrow 3\times 1-y=3$

$\Rightarrow -y=\frac{3}{3}=1$

$\Rightarrow y=-1$

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के दो संभावित हल $x=0,y=-3$ तथा $x=1,y=-1$ हैं। उत्तर

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(iv) $0.2x+0.3y=1.3$;

$0.4x+0.5y=2.3$

हल:

दिया गया है, $0.2x+0.3y=1.3$ ----------(i)

$0.4x+0.5y=2.3$ ----------(ii)

अब समीकरण (i) से

$0.2x+0.3y=1.3$

$\Rightarrow 0.2x=1.3-0.3y$

$\Rightarrow x=\frac{1.3-0.3y}{0.2}$ ----------(iii)

अब $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं

$0.4\times \frac{1.3-0.3y}{0.2}+0.5y=2.3$

$\Rightarrow \frac{0.52-0.12y}{0.2}+0.5y=2.3$

$\Rightarrow \frac{(0.52-0.12y)+0.1y}{0.2}=2.3$

$\Rightarrow 0.52-0.12y+0.1y=2.3\times 0.2$

$\Rightarrow 0.52-0.02y=0.46$

$\Rightarrow -0.02y=0.46-0.52$

$\Rightarrow -0.02y=-0.06$

$\Rightarrow y=\frac{0.06}{0.02}=3$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर

$0.2x+0.3\times 3=1.3$

$\Rightarrow 0.2x+0.9=1.3$

$\Rightarrow 0.2x=1.3?0.9$

$\Rightarrow x=\frac{0.4}{0.2}$

$\Rightarrow x=2$

अत:, $x=2$ तथा $y=3$ उत्तर

(v) $\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=0$;

$\sqrt{3}x-\sqrt{8}y=0$

हल:

दिया गया है,

$\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=0$ --------- (i)

$\sqrt{3}x-\sqrt{8}y=0$ ----------- (ii)

Now, $\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=0$

$\Rightarrow \sqrt{2}x=-\sqrt{3}y=0$

$=x=-\frac{\sqrt{3}y}{\sqrt{2}}$ ---------(iii)

अब $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$\sqrt{3}\times \frac{-\sqrt{3}y}{\sqrt{2}}?\sqrt{8}y=0$

$\Rightarrow \frac{-3y}{\sqrt{2}}?\sqrt{8}y=0$

$\Rightarrow \frac{-3y-\sqrt{2}\times \sqrt{8}y}{\sqrt{2}}=0$

$\Rightarrow -3y-\sqrt{16}y=0$

$\Rightarrow y(-3-4)=0$

$\Rightarrow y=\frac{0}{-1}=0$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$\sqrt{2}x-\sqrt{3}\times 0=0$

$\Rightarrow \sqrt{2}x-0=0$

$\Rightarrow x=0$

अत:, $x=0$ तथा $y=0$ उत्तर

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(vi) $\frac{3x}{2}-\frac{5y}{3}=-2$;

$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}$

हल:

दिया गया है, $\frac{3x}{2}-\frac{5y}{3}=-2$ -------(i)

$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}$ --------------(ii)

अब समीकरण (i) से

$\frac{3x}{2}-\frac{5y}{3}=-2$

$\Rightarrow \frac{9x-10y}{6}=-2$

$\Rightarrow 9x-10y=-12$

$\Rightarrow 9x=(-12+10y)$

$\Rightarrow x=\frac{-12+10y}{9}$ -----------(iii)

अब $x$ का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर

$\frac{(-12+10y)/9}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}$

$\Rightarrow \frac{-12+10y}{27}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}$

$\Rightarrow \frac{2\times (-12+10y)+27y}{54}=\frac{13}{6}$

$\Rightarrow -24+20y+27y=\frac{13\times 549}{6}$

$\Rightarrow -24+47y=117$

$\Rightarrow 47y=117+24=141$

$\Rightarrow y=\frac{141}{47}=3$

अब $y$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर

$\frac{x}{3}+\frac{3}{2}=\frac{13}{6}$

$\Rightarrow \frac{2x+9}{6}=\frac{13}{6}$

$\Rightarrow 2x+9=\frac{13\times 6}{6}$

$\Rightarrow 2x+9=13$

$\Rightarrow 2x=13-9=4$

$\therefore x=\frac{4}{2}=2$

अत:, $x=2$ तथा $y=3$ उत्तर

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प्रश्न संख्या: 2. $2x+3y=11$ और $2x-4y=-24$ को हल कीजिए और इसमें $m$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $y=mx+3$ हो।

हल:

दिया गया है, $2x+3y=11$ -----------(i)

तथा, $2x-4y=-24$ ------------(ii)

अब समीकरण (i) के द्वारा

$2x+3y=11$

$\Rightarrow 2x=11-3y$

$\Rightarrow x=\frac{11-3y}{2}$ -------------(iii)

अब $x$ मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर

$2\left(\frac{11-3y}{2}\right)-4y=-24$

$\Rightarrow 11-3y-4y=-24$

$\Rightarrow 11-7y=-24$

$\Rightarrow -7y=-24-11$

$\Rightarrow -7y=-35$

$\Rightarrow y=\frac{-35}{-7}=5$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$2x+3\times 5=11$

$\Rightarrow 2x+15=11$

$\Rightarrow 2x=11-15=-4$

$\Rightarrow x=\frac{-4}{2}=-2$

अत:, $x=-2$ तथा $y=5$

अब जैसा कि प्रश्न में दिया गया है $y=mx+3$ -----------(iv)

समीकरण (iv) में $x$ तथा $y$ का मान रखने पर

$5=m(-2)+3$

$\Rightarrow -2m=5-3=2$

$\Rightarrow m=2(-2)=-1$

अत:, $m=-1$ उत्तर

NCERT प्रश्नावली 3.3 (भाग:2)

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प्रश्न संख्या: 3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:

(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि दी गई संख्याएँ $x$ तथा $y$ हैं।

अब प्रश्न के अनुसार

$x-y=26$ -----------(i)

तथा, $x=3y$ -----------(ii)

अब समीकरण (ii) से $x$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं।

$3y-y=26$

$\Rightarrow 2y=26$

$\therefore y=\frac{26}{2}=13$

अब $y$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$x=3\times 13=39$

अत:, $x=39$ और $y=13$ उत्तर

(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लियी कि दिया गये संपूरक कोण $x$ तथा $y$ हैं।

अत: प्रश्न के अनुसार

$x+y=180$ ------------------(i)

[∵ चूँकि संपूरक कोणों का योग ${180}^0$ होता है।]

तथा, $x-y=18$ ------------(ii)

अब समीकरण (ii) से

$x=18+y$ ---------(iii)

अब $x$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$18+y+y=180$

$\Rightarrow 18+2y=180$

$\Rightarrow 2y=180-18=162$

$\therefore y=\frac{162}{2}=81$

अब $y$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$x=18+81=99$

अत: प्रश्न में वांछित संपूरक कोण क्रमश: ${99}^0$ और ${81}^0$ हैं। उत्तर

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(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें Rs 3800 में खरीदीं। बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें Rs 1750 में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि एक बल्ले का मूल्य = Rs $x$

तथा एक गेंद का मूल्य = Rs $y$

अत: प्रश्न के अनुसार

$7x+6y=3800$ ------------(i)

$3x+5y=1750$ --------------(ii)

$\Rightarrow 3x=1750?5y$

$\Rightarrow x=\frac{1750?5y}{3}$ ------------(iii)

अब $x$ का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर

$7\times \frac{1750-5y}{3}+6y=3800$

$\Rightarrow \frac{12250-35y}{3}+6y=2800$

$\Rightarrow \frac{(12250-35y)+18y}{3}=3800$

$\Rightarrow 12250-35y+18y=3800\times 3$

$\Rightarrow 12250+17y=11400$

$\Rightarrow -17y=11400?12250$

$\Rightarrow -17y=-850$

$\Rightarrow y=\frac{-850}{-17}=50$

अब $y$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर

$3x+5\times 50=1750$

$\Rightarrow 3x+250=1750$

$\Rightarrow 3x=1750-250$

$\Rightarrow 3x=1500$

$\therefore x=\frac{1500}{3}=500$

अत: एक बल्ले का मूल्य = Rs 500 तथा एक गेंद का मूल्य = Rs 50 है। उत्तर

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(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा Rs 105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा Rs 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?

हल:

मान लिया कि टैक्सी का नियत भाड़ा = Rs $x$ है

तथा प्रति km भाड़ा = Rs $y$ है।

प्रश्न के अनुसार

10 km दूरी के लिए भाड़ा = Rs. 105

अत: $x+10y=105$ ------------(i)

तथा, 15 km दूरी के लिए भाड़ा = Rs. 155

अत: $x+15y=155$ ----------(ii)

$\Rightarrow x=155-15y$ -------------(iii)

अब समीकरण (iii) से $x$ का मान समीकरण (i) में रखने पर

$155-15y+10y=105$

$\Rightarrow 155-5y=105$

$\Rightarrow -5y=105-155$

$\Rightarrow -5y=-50$

$\Rightarrow y=\frac{-50}{-5}=10$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर

$x+10\times 10=105$

$\Rightarrow x+100=105$

$\Rightarrow x=105-100=5$

अत: नियत भाड़ा = Rs 5 तथा प्रति किलोमीटर भाड़ा = Rs 10 है।

अब 25 km यात्रा करने के लिए भाड़ा

= नियत भाड़ा + प्रति किलोमीटर भाड़ा × 25

$=5+10\times 25$

$=5+250=255$

अत:,

नियत भाड़ा = Rs 5, प्रति किलोमीटर भाड़ा = Rs 10 तथा 25 km यात्रा के लिए भाड़ा = Rs 255 उत्तर

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(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाय, तो वह $\frac{9}{11}$ हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह $\frac{5}{6}$ हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि भिन्न $=\frac{x}{y}$

प्रश्न के अनुसार

अंश तथा हर में $2$ जोड़ने पर

$\frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11}$

क्रॉस गुणा (बज्र गुणन) करने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow 11(x+2)=9(y+2)$

$\Rightarrow 11x+22=9y+18$

$\Rightarrow 11x-9y=18-22$

$\Rightarrow 11x-9y=-4$ -----------(i)

तथा पुन: प्रश्न के अनुसार अंश तथा हर में $3$ जोड़ने पर

$\frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6}$

क्रॉस गुणा (बज्र गुणन) करने पर

$\Rightarrow 6(x+3)=5(y+3)$

$\Rightarrow 6x+18=5y+15$

$\Rightarrow 6x-5y=15-18$

$\Rightarrow 6x-5y=-3$ ----------(ii)

$\Rightarrow 6x=-3+5y$

$\Rightarrow x=\frac{-3+5y}{6}$ ---------(iii)

अब $x$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$11\times \frac{-3+5y}{6}-9y=-4$

$\Rightarrow \frac{-33+55y}{6}-9y=-4$

$\Rightarrow (-33+55y-54y)6=-4$

$\Rightarrow -33+y=-24$

$\Rightarrow y=-24+33=9$

अब $y$ का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$x=\frac{-3+5\times 9}{6}$

$\Rightarrow x=\frac{-3+45}{6}$

$\Rightarrow x=\frac{42}{6}=7$

अत: $x=7$ तथा $y=9$

अत: भिन्न $=\frac{7}{9}$ उत्तर

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(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उसकी वर्तमान आयु क्या है?

हल:

मान लिया कि जैकब की वर्तमान आयु $=j$ years

तथा जैकब के पुत्र की वर्तमान आयु $=s$ years

प्रश्न के अनुसार आज से पाँच वर्ष बाद

$j+5=3(s+5)$

$\Rightarrow j+5=3s+15$

$\Rightarrow j-3s=15-5$

$\Rightarrow j-3s=10$ ----------(i)

तथा प्रश्न के अनुसार पाँच वर्ष पहले

$j-5=7(s-5)$

$\Rightarrow j-5=7s-35$

$\Rightarrow j-7s=-35+5=-30$ ---------(ii)

अब,

$\Rightarrow j=-30+7s$ ------ (iii)

समीकरण (iii) से $j$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$-30+7s-3s=10$

$\Rightarrow -30+4s=10$

$\Rightarrow 4s=10+30=40$

$\Rightarrow s=\frac{40}{4}=10$

अब $s$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$j-3\times 10=10$

$\Rightarrow j-30=10$

$\Rightarrow j=10+30=40$

अत: जैसब की वर्तमान आयु = 40 वर्ष तथा जैकब के पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष उत्तर