Welcome to Gurukul with Arya Gautam

(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरूष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरूष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुन: इसी कार्य को करने में एक पुरूष कितना समय लेगा।

हल:

मान लिया कि 1 कार्य को करने में एक महिला को लगने वाला दिन $=x$

अत: 1 दिन में महिला द्वारा किया जाने वाला कार्य $=\frac{1}{x}$

पुन: मान लिया कि एक पुरूष को 1 कार्य करने में लगने वाला दिन $=y$

अत: एक पुरूष द्वार 1 दिन में किया जाने वाला कार्य = $\frac{1}{y}$

प्रश्न में दिया गया है

2 महिला तथा 5 पुरूष द्वारा कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय = 4 दिन

अत:,

$4(\frac{2}{x}+\frac{5}{y})=1$

$\Rightarrow \frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$ ---------- (i)

तथा पुन: प्रश्न में दिया गया है

3 महिला तथा 6 पुरूष को उसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय = 3 दिन

अत:,

$3(\frac{3}{x}+\frac{6}{y})=1$

$\Rightarrow \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}$ --------- (ii)

अब, मान लिया कि $\frac{1}{x}=p$ and $\frac{1}{y}=q$.

अत: $\frac{1}{x}$ तथा $\frac{1}{y}$ के मान को रखने पर हम पाते हैं कि

$3p+6q=\frac{1}{3}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$3(3p+6q)=1$

$\Rightarrow 9p+18q=1$ ---------- (iii)

$\Rightarrow 9p=1-18q$

$\Rightarrow p=\frac{1-18q}{9}$ -------- (iv)

$\frac{1}{x}$ तथा $\frac{1}{y}$ के मान को समीकरण (i) में रखने पर

$\Rightarrow \frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$ ---------- (i)

$\Rightarrow 2p+5q=\frac{1}{4}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$4(2p+5q)=1$

$\Rightarrow 8p+20q=1$ ------ (v)

समीकरण (iv) में $p=\frac{1-18q}{9}$ रखने पर

$8\times \frac{1-18q}{9}+20q=1$

$\Rightarrow \frac{8-144q+180q}{9}=1$

$\Rightarrow (8+36q)9=1$

$\Rightarrow 8+36q=9$

$\Rightarrow 36q=9-8=1$

$\Rightarrow q=\frac{1}{36}$ ---------- (vi)

अब $q=\frac{1}{y}$ को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\frac{1}{y}=\frac{1}{36}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$y=36$

अब $q=\frac{1}{36}$ को समीकरण (v) में रखने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow 8p+20q=1$ ------ (v)

$\Rightarrow 8p+20\times \left(\frac{1}{36}\right)=1$

$\Rightarrow 8p+\frac{20}{36}=1$

$\Rightarrow 8p+\frac{5}{9}=1$

$\Rightarrow 8p=1-\frac{5}{9}$

$\Rightarrow 8p=\frac{9-5}{9}$

$\Rightarrow 8p=\frac{4}{9}$

$\Rightarrow p=\frac{4}{9\times 8}$

$\Rightarrow p=\frac{1}{9\times 2}$

$\Rightarrow p=\frac{1}{18}$

$p=\frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\frac{1}{x}=\frac{1}{18}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$x=18$

अत: एक महिला द्वारा काम को पूरा करने में लगने वाला समय = 18 दिन

अत: एक पुरूष द्वारा काम को पूरा करने में लगने वाला समय = 36 दिन

अत: उत्तर=, $18$ दिन और $36$ दिन