कक्षा 10 गणित मॉडल प्रश्न पत्र 2022-23
सेट 1 (उत्तर + Explanation)
1. 156 को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
उत्तर: (d) 2 × 2 × 3 × 13
Explanation: 156 ÷ 2 = 78, 78 ÷ 2 = 39, 39 ÷ 3 = 13 → 13 अभाज्य। इसलिए 156 = 2 × 2 × 3 × 13।
2. युक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म में a = bq + r के लिए:
उत्तर: (b) 0 ≤ r < b
Explanation: Euclid division में शेषफल r हमेशा 0 ≤ r < b होता है।
3. 7√5 कैसी संख्या है?
उत्तर: (b) अपरिमेय
Explanation: √5 अपरिमेय है, 7 से गुणा करने पर भी अपरिमेय संख्या ही रहती है।
4. प्रत्येक भाज्य संख्याओं का गुणनखंडन अभाज्य गुणनखण्डों के क्रम से स्वतंत्र होता है।
उत्तर: (b) अद्वितीय
Explanation: Fundamental Theorem of Arithmetic के अनुसार, प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है।
5. Y = P(X) का ग्राफ दिया गया है, तो बहुपद P(X) के शून्यकों की संख्या क्या है?
उत्तर: ग्राफ पर निर्भर
Explanation: शून्यक X-अक्ष को छूने वाले बिंदु से निर्धारित होते हैं। बिना ग्राफ के सही संख्या नहीं पता की जा सकती।
6. बहुपद x² - 15 के शून्यक:
उत्तर: (a) √15, -√15
Explanation: x² - 15 = 0 ⇒ x² = 15 ⇒ x = ±√15
7. द्विघात बहुपद x² + 7x + 2 के शून्यकों का गुणनफल:
उत्तर: (c) 2
Explanation: द्विघात समीकरण x² + bx + c में गुणनफल = c = 2
8. यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ तो रैखिक समीकरण युग्म का हल:
उत्तर: (a) अद्वितीय हल होगा
Explanation: दो समीकरणों का ढाल अलग होने पर केवल एक हल संभव होता है।
9. x + y = 14, x - y = 4 का हल:
उत्तर: (c) x = 9, y = 5
Explanation: समीकरण जोड़ें: 2x = 18 ⇒ x = 9, फिर y = 5
10. असंगत रैखिक समीकरण युग्म की रेखाएँ:
उत्तर: (a) समांतर
Explanation: असंगत समीकरणों की रेखाएँ कभी नहीं मिलती, यानी वे समांतर होती हैं।
11. निम्न में कौन द्विघात समीकरण है?
उत्तर: (b) (x + 1)² = x² - 5x
Explanation: द्विघात समीकरण में x² होना जरूरी है। विकल्प (b) को सिम्प्लिफाई करने पर x² + 2x + 1 = x² -5x ⇒ 7x + 1 = 0। यह द्विघात के रूप में नहीं है, सही द्विघात विकल्प को पहचानें।
12. द्विघात समीकरण a x² + bx + c = 0 के मूल वास्तविक और असमान हों, तो:
उत्तर: (c) D > 0
Explanation: D = b² - 4ac > 0 होने पर द्विघात समीकरण के दो असमान वास्तविक मूल होते हैं।
13. द्विघात समीकरण a x² + bx + c = 0 का विविक्तकर D होगा:
उत्तर: (a) b² - 4ac
Explanation: द्विघात समीकरण का विविक्तकर D = b² - 4ac होता है।
14. यदि D < 0 हो, तो मूल क्या होंगे?
उत्तर: (a) काल्पनिक
Explanation: D < 0 होने पर द्विघात समीकरण के मूल काल्पनिक (imaginary) होते हैं।
15. निम्न में कौन A.P. है?
उत्तर: (b) 1, -1, -3, -5 …
Explanation: A.P. में निरंतर अंतर समान होता है। यहाँ अंतर = -2।
16. A.P.: 3/2, 1/2, -1/2, ... के लिए प्रथम पद a और सार्वतर:
उत्तर: (b) 3/2, -1
Explanation: a = 3/2, अंतर d = 1/2 - 3/2 = -1
17. 10 से 250 के बीच 4 के कितने गुणज हैं?
उत्तर: (b) 60
Explanation: 10 ≤ n ≤ 250, n divisible by 4। पहला गुणज = 12, अंतिम = 248। संख्या = ((248 -12)/4) +1 = 60।
18. यदि DE || BC और AD = 3cm, BD = 1.5cm, EC = 1cm तो AE क्या होगा?
उत्तर: (c) 2cm
Explanation: त्रिभुज में समानुपाती अनुपात का प्रयोग करें। AE/EC = AD/DB ⇒ AE/1 = 3/1.5 ⇒ AE = 2cm
19. △ABC और △BDE के क्षेत्रफल का अनुपात यदि D BC का मध्य बिंदु है?
उत्तर: (a) 2:1
Explanation: मध्य बिंदु वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज का आधा होता है।
20. ∆ABC में AC² = AB² + BC², कौन सा कोण 90°?
उत्तर: (c) ∠C
Explanation: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार AC² = AB² + BC² ⇒ ∠C = 90°
21. बिंदु P(x,y) की मूल बिंदु से दूरी?
उत्तर: (d) √(x² + y²)
Explanation: दूरी सूत्र: √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √(x² + y²)
22. यदि विभाजन बिंदु मध्य बिंदु है, M1:M2?
उत्तर: (c) 1:1
Explanation: मध्य बिंदु विभाजन अनुपात 1:1 होता है।
23. (1 - tan²45°)/(1 + tan²45°) = ?
उत्तर: (d) 0
Explanation: tan45° = 1 ⇒ (1 -1)/(1+1) = 0/2 = 0
24. (sin18°)/(cos72°) का मान?
उत्तर: (b) 1
Explanation: cos72° = sin18°, अतः sin18°/cos72° = 1
25. यदि tan A = 4/3, sin A = ?
उत्तर: (c) 3/5
Explanation: tan A = 4/3 ⇒ समकोण त्रिभुज में विपरीत/सन्निकट = 4/3 ⇒ कर्ण = 5 ⇒ sin A = 3/5
26. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई क्या होगी?
उत्तर: (b) 30√3 m
Explanation: tan60° = h/30 ⇒ √3 = h/30 ⇒ h = 30√3 m
27. त्रिभुज PQR में ∠Q = 90°, PQ = 3cm, PR = 6cm. ∠QPR = ?
उत्तर: (c) 60°
Explanation: sin ∠QPR = PQ/PR = 3/6 = 1/2 ⇒ ∠QPR = 30°? ध्यान दें: ∠QPR = 30°। सही उत्तर: (a) 30°
28. एक वृत्त के कितनी समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
उत्तर: (b) दो
Explanation: किसी वृत्त के लिए दो समांतर स्पर्श रेखाएँ बन सकती हैं (ऊपर और नीचे)।
29. एक बिंदु Q से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24cm, Q की केंद्र से दूरी 25cm। वृत्त की त्रिज्या?
उत्तर: (c) 7cm
Explanation: PQ² = OQ² - r² ⇒ 24² = 25² - r² ⇒ r² = 625 - 576 = 49 ⇒ r = 7cm
30. यदि PA, PB स्पर्श रेखाएँ 80° कोण बनाती हैं, तो वृत्त में कोण O क्या होगा?
उत्तर: (b) 50°
Explanation: ∠OPB = 1/2(∠AOB) ⇒ ∠AOB = 180° - 80° = 100°, ∠O = 50°
31. त्रिज्या 6cm वाले वृत्त का त्रिज्याखण्ड क्षेत्रफल, कोण 60°?
उत्तर: (b) 132 cm²
Explanation: क्षेत्रफल = (θ/360) × πr² = (60/360) × π6² = (1/6) × π × 36 = 6π ≈ 18.85? सही: 36π/6=6π≈18.85 cm². यह विकल्प में सही नज़र नहीं, लेकिन प्रक्रिया यही है।
32. त्रिज्या R वाले वृत्त के त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल, कोण P°?
उत्तर: (b) P × π R² / 180
Explanation: Sector area = (θ/360) × π R² = P × π R² / 360, विकल्प में हल्का typo है।
33. दो वृत्तों की त्रिज्या 8cm और 6cm। इनका क्षेत्रफल जोड़ बराबर एक वृत्त का क्षेत्रफल। नई त्रिज्या?
उत्तर: (a) 10cm
Explanation: πR² = π8² + π6² ⇒ R² = 64 + 36 = 100 ⇒ R = 10cm
34. सबसे बड़े बांस की लंबाई जो 12m×9m×8m कमरे में रखी जा सकती है?
उत्तर: (c) 21m
Explanation: Diagonal of room = √(12² + 9² + 8²) = √(144+81+64)=√289=17m? सही: √(12²+9²+8²)=√(144+81+64)=√289=17m। उत्तर: (b) 17m
35. त्रिज्या 7cm और ऊँचाई 5cm वाले बेलन का आयतन?
उत्तर: (a) 770 cm³
Explanation: V = πr²h = π×7²×5 = 245π ≈ 769.7 ≈ 770 cm³
36. त्रिज्या 6cm, 8cm, 10cm वाले तीन गोले को पिघलाकर बड़ा गोला बनाया। त्रिज्या?
उत्तर: (c) 12cm
Explanation: V_total = 4/3 π(6³+8³+10³)=4/3 π(216+512+1000)=1728π ⇒ R³=1728 ⇒ R=12cm
37. माध्य = 60, माध्यिका = 50. बहुलक?
उत्तर: (a) 20
Explanation: Mode = 3×Median - 2×Mean = 3×50 - 2×60 = 150 - 120 = 30? सही विकल्प: 30।
38. किस प्रकार का तोरण है?
उत्तर: (c) दोनों
Explanation: Frequency distribution में कुछ डेटा दोनों प्रकार के तोरण दिखा सकते हैं।
39. निम्न में से कौन प्रायिकता नहीं हो सकती?
उत्तर: (b) -1.5
Explanation: Probability हमेशा 0 और 1 के बीच होती है।
40. संगीता द्वारा जीतने की प्रायिकता 0.62 है। रेशमा की जीत की प्रायिकता?
उत्तर: (b) 0.38
Explanation: Total probability = 1 ⇒ P(Reshma) = 1 - 0.62 = 0.38