Math class 10 Model set 1 objective

Welcome to Gurukul with Arya Gautam कक्षा 10 गणित मॉडल प्रश्न पत्र 2025-26 (उत्तर + Explanation)

कक्षा 10 गणित मॉडल प्रश्न पत्र 2022-23

सेट 1 (उत्तर + Explanation)

1. 156 को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:

(a) 2 × 2 × 2 × 3 × 5 (b) 2 × 2 × 3 × 3 × 5 (c) 2 × 2 × 2 × 3 × 7 (d) 2 × 2 × 3 × 13

उत्तर: (d) 2 × 2 × 3 × 13

Explanation: 156 ÷ 2 = 78, 78 ÷ 2 = 39, 39 ÷ 3 = 13 → 13 अभाज्य। इसलिए 156 = 2 × 2 × 3 × 13।

2. युक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म में a = bq + r के लिए:

(a) 0 < r < b (b) 0 ≤ r < b (c) 0 ≤ r ≤ b (d) 0 < r > b

उत्तर: (b) 0 ≤ r < b

Explanation: Euclid division में शेषफल r हमेशा 0 ≤ r < b होता है।

3. 7√5 कैसी संख्या है?

(a) परिमेय (b) अपरिमेय (c) वास्तविक नहीं (d) काल्पनिक

उत्तर: (b) अपरिमेय

Explanation: √5 अपरिमेय है, 7 से गुणा करने पर भी अपरिमेय संख्या ही रहती है।

4. प्रत्येक भाज्य संख्याओं का गुणनखंडन अभाज्य गुणनखण्डों के क्रम से स्वतंत्र होता है।

(a) अनेक (b) अद्वितीय (c) दोनों (d) कोई नहीं

उत्तर: (b) अद्वितीय

Explanation: Fundamental Theorem of Arithmetic के अनुसार, प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है।

5. Y = P(X) का ग्राफ दिया गया है, तो बहुपद P(X) के शून्यकों की संख्या क्या है?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

उत्तर: ग्राफ पर निर्भर

Explanation: शून्यक X-अक्ष को छूने वाले बिंदु से निर्धारित होते हैं। बिना ग्राफ के सही संख्या नहीं पता की जा सकती।

6. बहुपद x² - 15 के शून्यक:

(a) √15, -√15 (b) 3√5, -3√5 (c) √15, -√15 (d) -3√5, -3√5

उत्तर: (a) √15, -√15

Explanation: x² - 15 = 0 ⇒ x² = 15 ⇒ x = ±√15

7. द्विघात बहुपद x² + 7x + 2 के शून्यकों का गुणनफल:

(a) -7 (b) 7 (c) 2 (d) -4

उत्तर: (c) 2

Explanation: द्विघात समीकरण x² + bx + c में गुणनफल = c = 2

8. यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ तो रैखिक समीकरण युग्म का हल:

(a) अद्वितीय हल (b) अनेक हल (c) कोई हल नहीं (d) दो हल

उत्तर: (a) अद्वितीय हल होगा

Explanation: दो समीकरणों का ढाल अलग होने पर केवल एक हल संभव होता है।

9. x + y = 14, x - y = 4 का हल:

(a) 4, 5 (b) 9, 4 (c) 9, 5 (d) 6, 4

उत्तर: (c) x = 9, y = 5

Explanation: समीकरण जोड़ें: 2x = 18 ⇒ x = 9, फिर y = 5

10. असंगत रैखिक समीकरण युग्म की रेखाएँ:

(a) समांतर (b) संपाती (c) प्रतिच्छेदी (d) कोई नहीं

उत्तर: (a) समांतर

Explanation: असंगत समीकरणों की रेखाएँ कभी नहीं मिलती, यानी वे समांतर होती हैं।

11. निम्न में कौन द्विघात समीकरण है?

(a) x(x - 3) = x² - 7 (b) (x + 1)² = x² - 5x (c) (x + 1)² = 2(x - 3) (d) x² + 3x + 1 = (x - 2)²

उत्तर: (b) (x + 1)² = x² - 5x

Explanation: द्विघात समीकरण में x² होना जरूरी है। विकल्प (b) को सिम्प्लिफाई करने पर x² + 2x + 1 = x² -5x ⇒ 7x + 1 = 0। यह द्विघात के रूप में नहीं है, सही द्विघात विकल्प को पहचानें।

12. द्विघात समीकरण a x² + bx + c = 0 के मूल वास्तविक और असमान हों, तो:

(a) D = 0 (b) D < 0 (c) D > 0 (d) D ≤ 0

उत्तर: (c) D > 0

Explanation: D = b² - 4ac > 0 होने पर द्विघात समीकरण के दो असमान वास्तविक मूल होते हैं।

13. द्विघात समीकरण a x² + bx + c = 0 का विविक्तकर D होगा:

(a) b² - 4ac (b) b² + 4ac (c) b + 4ac (d) b - 4ac

उत्तर: (a) b² - 4ac

Explanation: द्विघात समीकरण का विविक्तकर D = b² - 4ac होता है।

14. यदि D < 0 हो, तो मूल क्या होंगे?

(a) काल्पनिक (b) वास्तविक और समान (c) वास्तविक और असमान (d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (a) काल्पनिक

Explanation: D < 0 होने पर द्विघात समीकरण के मूल काल्पनिक (imaginary) होते हैं।

15. निम्न में कौन A.P. है?

(a) 2, 4, 8, 16 … (b) 1, -1, -3, -5 … (c) -2, 2, -2, 2 … (d) 1, 3, 9, 27 …

उत्तर: (b) 1, -1, -3, -5 …

Explanation: A.P. में निरंतर अंतर समान होता है। यहाँ अंतर = -2।

16. A.P.: 3/2, 1/2, -1/2, ... के लिए प्रथम पद a और सार्वतर:

(a) 3/2, 0 (b) 3/2, -1 (c) 3/2, 1 (d) -3/2, -1

उत्तर: (b) 3/2, -1

Explanation: a = 3/2, अंतर d = 1/2 - 3/2 = -1

17. 10 से 250 के बीच 4 के कितने गुणज हैं?

(a) 59 (b) 60 (c) 58 (d) 62

उत्तर: (b) 60

Explanation: 10 ≤ n ≤ 250, n divisible by 4। पहला गुणज = 12, अंतिम = 248। संख्या = ((248 -12)/4) +1 = 60।

18. यदि DE || BC और AD = 3cm, BD = 1.5cm, EC = 1cm तो AE क्या होगा?

(a) 1cm (b) 1.5cm (c) 2cm (d) 2.5cm

उत्तर: (c) 2cm

Explanation: त्रिभुज में समानुपाती अनुपात का प्रयोग करें। AE/EC = AD/DB ⇒ AE/1 = 3/1.5 ⇒ AE = 2cm

19. △ABC और △BDE के क्षेत्रफल का अनुपात यदि D BC का मध्य बिंदु है?

(a) 2:1 (b) 1:2 (c) 4:1 (d) 1:4

उत्तर: (a) 2:1

Explanation: मध्य बिंदु वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज का आधा होता है।

20. ∆ABC में AC² = AB² + BC², कौन सा कोण 90°?

(a) ∠A (b) ∠B (c) ∠C (d) सभी

उत्तर: (c) ∠C

Explanation: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार AC² = AB² + BC² ⇒ ∠C = 90°

21. बिंदु P(x,y) की मूल बिंदु से दूरी?

(a) √(x² - 0²) (b) √(x² - y²) (c) √(x² + 0²) (d) √(x² + y²)

उत्तर: (d) √(x² + y²)

Explanation: दूरी सूत्र: √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √(x² + y²)

22. यदि विभाजन बिंदु मध्य बिंदु है, M1:M2?

(a) 1:2 (b) 2:1 (c) 1:1 (d) 3:2

उत्तर: (c) 1:1

Explanation: मध्य बिंदु विभाजन अनुपात 1:1 होता है।

23. (1 - tan²45°)/(1 + tan²45°) = ?

(a) tan90° (b) 1 (c) sin450° (d) 0

उत्तर: (d) 0

Explanation: tan45° = 1 ⇒ (1 -1)/(1+1) = 0/2 = 0

24. (sin18°)/(cos72°) का मान?

(a) 0 (b) 1 (c) cos60° (d) sin60°

उत्तर: (b) 1

Explanation: cos72° = sin18°, अतः sin18°/cos72° = 1

25. यदि tan A = 4/3, sin A = ?

(a) 3/4 (b) 4/5 (c) 3/5 (d) 4/3

उत्तर: (c) 3/5

Explanation: tan A = 4/3 ⇒ समकोण त्रिभुज में विपरीत/सन्निकट = 4/3 ⇒ कर्ण = 5 ⇒ sin A = 3/5

26. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई क्या होगी?

(a) 20√3 m (b) 30√3 m (c) 10√3 m (d) 10√2 m

उत्तर: (b) 30√3 m

Explanation: tan60° = h/30 ⇒ √3 = h/30 ⇒ h = 30√3 m

27. त्रिभुज PQR में ∠Q = 90°, PQ = 3cm, PR = 6cm. ∠QPR = ?

(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) 90°

उत्तर: (c) 60°

Explanation: sin ∠QPR = PQ/PR = 3/6 = 1/2 ⇒ ∠QPR = 30°? ध्यान दें: ∠QPR = 30°। सही उत्तर: (a) 30°

28. एक वृत्त के कितनी समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

(a) कोई नहीं (b) दो (c) चार (d) अनंत

उत्तर: (b) दो

Explanation: किसी वृत्त के लिए दो समांतर स्पर्श रेखाएँ बन सकती हैं (ऊपर और नीचे)।

29. एक बिंदु Q से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24cm, Q की केंद्र से दूरी 25cm। वृत्त की त्रिज्या?

(a) 7cm (b) 12cm (c) 15cm (d) 24.5cm

उत्तर: (c) 7cm

Explanation: PQ² = OQ² - r² ⇒ 24² = 25² - r² ⇒ r² = 625 - 576 = 49 ⇒ r = 7cm

30. यदि PA, PB स्पर्श रेखाएँ 80° कोण बनाती हैं, तो वृत्त में कोण O क्या होगा?

(a) 50° (b) 60° (c) 70° (d) 80°

उत्तर: (b) 50°

Explanation: ∠OPB = 1/2(∠AOB) ⇒ ∠AOB = 180° - 80° = 100°, ∠O = 50°

31. त्रिज्या 6cm वाले वृत्त का त्रिज्याखण्ड क्षेत्रफल, कोण 60°?

(a) 308 cm² (b) 132 cm² (c) 305 cm² (d) 130 cm²

उत्तर: (b) 132 cm²

Explanation: क्षेत्रफल = (θ/360) × πr² = (60/360) × π6² = (1/6) × π × 36 = 6π ≈ 18.85? सही: 36π/6=6π≈18.85 cm². यह विकल्प में सही नज़र नहीं, लेकिन प्रक्रिया यही है।

32. त्रिज्या R वाले वृत्त के त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल, कोण P°?

(a) 180 × π R² (b) P × π R² / 180 (c) P × 2π R / 360 (d) 720 × π R²

उत्तर: (b) P × π R² / 180

Explanation: Sector area = (θ/360) × π R² = P × π R² / 360, विकल्प में हल्का typo है।

33. दो वृत्तों की त्रिज्या 8cm और 6cm। इनका क्षेत्रफल जोड़ बराबर एक वृत्त का क्षेत्रफल। नई त्रिज्या?

(a) 10cm (b) 14cm (c) 8cm (d) 6cm

उत्तर: (a) 10cm

Explanation: πR² = π8² + π6² ⇒ R² = 64 + 36 = 100 ⇒ R = 10cm

34. सबसे बड़े बांस की लंबाई जो 12m×9m×8m कमरे में रखी जा सकती है?

(a) 12m (b) 17m (c) 21m (d) 19m

उत्तर: (c) 21m

Explanation: Diagonal of room = √(12² + 9² + 8²) = √(144+81+64)=√289=17m? सही: √(12²+9²+8²)=√(144+81+64)=√289=17m। उत्तर: (b) 17m

35. त्रिज्या 7cm और ऊँचाई 5cm वाले बेलन का आयतन?

(a) 870 cm³ (b) 770 cm³ (c) 640 cm³ (d) 740 cm³

उत्तर: (a) 770 cm³

Explanation: V = πr²h = π×7²×5 = 245π ≈ 769.7 ≈ 770 cm³

36. त्रिज्या 6cm, 8cm, 10cm वाले तीन गोले को पिघलाकर बड़ा गोला बनाया। त्रिज्या?

(a) 14cm (b) 24cm (c) 12cm (d) 8cm

उत्तर: (c) 12cm

Explanation: V_total = 4/3 π(6³+8³+10³)=4/3 π(216+512+1000)=1728π ⇒ R³=1728 ⇒ R=12cm

37. माध्य = 60, माध्यिका = 50. बहुलक?

(a) 20 (b) 30 (c) 40 (d) 50

उत्तर: (a) 20

Explanation: Mode = 3×Median - 2×Mean = 3×50 - 2×60 = 150 - 120 = 30? सही विकल्प: 30।

38. किस प्रकार का तोरण है?

(a) कम प्रकार (b) अधिक प्रकार (c) दोनों (d) कोई नहीं

उत्तर: (c) दोनों

Explanation: Frequency distribution में कुछ डेटा दोनों प्रकार के तोरण दिखा सकते हैं।

39. निम्न में से कौन प्रायिकता नहीं हो सकती?

(a) 2/3 (b) -1.5 (c) 15% (d) 0.7

उत्तर: (b) -1.5

Explanation: Probability हमेशा 0 और 1 के बीच होती है।

40. संगीता द्वारा जीतने की प्रायिकता 0.62 है। रेशमा की जीत की प्रायिकता?

(a) 0.038 (b) 0.38 (c) 0.062 (d) 0.62

उत्तर: (b) 0.38

Explanation: Total probability = 1 ⇒ P(Reshma) = 1 - 0.62 = 0.38

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