Class 10 Math exercise 4.3 Ncert solutions

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कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 4.3 समाधान

 प्रश्‍न 1. यदि निम्‍नलिखित द्विाघात समीकरणों के मूलों का अस्तितव हो तो इन्‍हे पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए ।
 (i) 2x2-7x+3 = 0         (ii) 2x2+x-4 = 0
 (iii) 4x2+4$\sqrt{3}$ x+3 = 0     (iv) 2x2+x+4 = 0

हल :- (i) 2x2-7x+3 = 0

x2 का गुणांक 1 बनाने के लिए दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर

x2– $\frac{7}{2}�+\frac{3}{2}$  = 0

x2 – $2(\frac{7}{4})�=\frac{-3}{2}$

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में ( )2 जोड़ने पर

${�}^2\text{–}2(\frac{7}{4})�+(\frac{7}{4}{)}^2=\frac{-3}{2}+(\frac{7}{4}{)}^2$

$(�-\frac{7}{4}{)}^2$ = $\frac{-3}{2}+\frac{49}{16}$‘

$(�-\frac{7}{4}{)}^2$ = $\frac{-24+49}{16}$‘

$(�-\frac{7}{4}{)}^2$ = $\frac{25}{16}$ ‘

$�-\frac{7}{4}$ = $\sqrt{\frac{25}{16}}$ ‘

$�-\frac{7}{4}=\pm \frac{5}{4}$ ‘

x = $\frac{7}{4}\pm \frac{5}{4}$

x = $\frac{7}{4}+\frac{5}{4}$ या x = $\frac{7}{4}-\frac{5}{4}$

x = $\frac{12}{4}$  या x = $\frac{2}{4}$

x = 3 या x =  $\frac{1}{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल 3 व  $\frac{1}{2}$  हैं ।

 (iii) 4x2+4$\sqrt{3}$x+3 = 0

(2x)2 + 2(2x)$\sqrt{3}$  + 3 = 0

(2x)2 + 2(2x)$\sqrt{3}$  +($\sqrt{3}$) 2 = 0

(2x+ $\sqrt{3}$ )2 = 0

2x+$\sqrt{3}$  = 0 या 2x +$\sqrt{3}$  = 0

x = – $\frac{\sqrt{3}}{2}$ या x = –  $\frac{\sqrt{3}}{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल – $\frac{\sqrt{3}}{2}$ व – $\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं ।

 (iv) 2x2+x+4 = 0

2x2+x+4 = 0

x2 का गुणांक 1 बनाने के लिए दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर

x2 + $\frac{�}{2}$ + 2 = 0

x2 + 2($\frac{1}{4}$ )x = -2

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में ($\frac{1}{4}$)2 जोड़ने पर

x2 + 2( $\frac{1}{4}$ )x + ($\frac{1}{4}$)2  = -2 + ($\frac{1}{4}$)2

( x+$\frac{1}{4}$ )2 = -2 +  $\frac{1}{16}$

(x+ $\frac{1}{4}$)2 =   $\frac{-32+1}{16}$

(x+$\frac{1}{4}$)2 =  $\frac{-31}{16}$ < 0

अत: दिए गए द्विघात समीकरण में वास्‍तविक मूल का अस्तितव नहीं है ।

प्रश्‍न 2. उपर्युक्‍त प्रश्‍न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए ।

हल:- (i) 2x2-7x+3 = 0

ax2+bx+c = 0 से तुलना करने पर

a = 2, b = -7, c = 3

b2-4ac = (-7)2 – 4x2x3 = 49 – 24 = 25 ≥ 0

b2-4ac ≥ 0 है अत: मूलों का अस्तितव है ।

द्विघाती सूत्र से x =  $\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

x = $\frac{-(-7)\pm \sqrt{25}}{2(2)}$

x = $\frac{7\pm 5}{4}$

x = $\frac{7+5}{4}$ या x = $\frac{7-5}{4}$

x = $\frac{12}{4}$ या x = $\frac{2}{4}$

x = 3 या x = $\frac{1}{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल 3 व  $\frac{1}{2}$  हैं ।

 (ii) 2x2+x-4 = 0

ax2+bx+c = 0 से तुलना करने पर

a = 2, b = 1, c = -4

b2-4ac = (1)2 – 4x2x-4 = 1+32 = 33 ≥ 0

b2-4ac ≥ 0 है अत: मूलों का अस्तितव है ।

द्विघाती सूत्र से x =  $\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

x = $\frac{-1\pm \sqrt{33}}{2(2)}$ = $\frac{-1\pm \sqrt{33}}{4}$

x = $\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$ या $\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल $\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$ व  $\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$  हैं ।

(iii) 4x2+4$\sqrt{3}$ x+3 = 0

ax2+bx+c = 0 से तुलना करने पर

a = 4, b = 4$\sqrt{3}$  , c = 3

b2-4ac = (4$\sqrt{3}$) 2 – 4x4x3 = 48 – 48 = 0 ≥ 0

b2-4ac ≥ 0 है अत: मूलों का अस्तितव है ।

द्विघाती सूत्र से x =  $\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

x =  $\frac{-4\sqrt{3}\pm \sqrt{0}}{2(4)}$

x = $\frac{-4\sqrt{3}\pm 0}{8}$ = $\frac{-\sqrt{3}\pm 0}{2}$

x = $\frac{-\sqrt{3}+0}{2}$ या $\frac{-\sqrt{3}-0}{2}$

x = –$\frac{\sqrt{3}}{2}$, –$\frac{\sqrt{3}}{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल –$\frac{\sqrt{3}}{2}$  व –$\frac{\sqrt{3}}{2}$  हैं ।

(iv) 2x2+x+4 = 0

ax2+bx+c = 0 से तुलना करने पर

a = 2, b = 1, c = 4

b2-4ac = (1)2 – 4x2x4 = 1-32 = -31 < 0

अत: मूलों का अस्तितव नहीं है ।

प्रश्‍न 3. निम्‍न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए ।

(i) x – $\frac{1}{�}$ = 3, x ≠ 0                (ii)  $\frac{1}{�+4}-\frac{1}{�-7}=\frac{11}{30}$ , x ≠ -4, 7

हल :- (i) x – $\frac{1}{�}$ = 3, x ≠ 0

          $\frac{{�}^2-1}{�}$   = 3

       x2 – 1 = 3x

       x2 – 3x – 1 = 0

a = 1, b = -3, c = -1

द्विघाती सूत्र से x =  $\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

x = $\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4(1)(-1)}}{2(1)}$ =  $\frac{3\pm \sqrt{9+4}}{2}$

x =  $\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$

x =  $\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ या  $\frac{3-\sqrt{13}}{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल $\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ व  $\frac{3-\sqrt{13}}{2}$  हैं ।

 (ii) $\frac{1}{�+4}-\frac{1}{�-7}=\frac{11}{30}$ , x ≠ -4, 7

    $\frac{1}{�+4}-\frac{1}{�-7}=\frac{11}{30}$ ‘

  $\frac{(�-7)-(�+4)}{(�+4)(�-7)}=\frac{11}{30}$ ‘

  $\frac{�-7-�-4}{{�}^2-3�-28}=\frac{11}{30}$ ‘

$\frac{-11}{{�}^2-3�-28}=\frac{11}{30}$

 -11×30 = 11(x2-3x-28)

-30 = x2-3x-28

0 = x2-3x-28+30

x2-3x+2 = 0

x2-2x-x+2 = 0

x(x-2) -1(x-2) = 0

(x-2)(x-1) = 0

x = 2 या x = 1

अत: द्विघात समीकरण के मूल 2 व  1 हैं ।

प्रश्‍न 4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षो में) का व्‍युत्‍क्रम और अब से 5 वर्ष पश्‍चात आयु के व्‍युत्‍क्रम का योग $\frac{1}{3}$ है । उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है ।

3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = x-3

5 वर्ष पश्‍चात रहमान की आयु = x+5

प्रश्‍नानुसार  $\frac{1}{�-3}+\frac{1}{�+5}=\frac{1}{3}$ ‘

$\frac{�+5+�-3}{(�-3)(�+5)}=\frac{1}{3}$ $\frac{2�+2}{{�}^2+2�-15}=\frac{1}{3}$

 3(2x+2) = x2+2x-15

6x+6 = x2+2x-15

0 = x2+2x-15-6x-6

0 = x2-4x-21

x2-7x+3x-21 = 0

x(x-7) +3(x-7) = 0

(x-7)(x+3) = 0

x-7 = 0 या x+3 = 0

x = 7 या x = -3 (यह संभव नहीं क्‍योंकी आयु ऋणात्‍मक नहीं होती )

अत: रहमान की वर्तमान आयु 7 वर्ष है ।

प्रश्‍न 5. एक क्‍लास टेस्‍ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्‍त किए गए अंकों का योग 30 है । यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता । उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्‍त किए अंक ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना शेफाली ने गणित में x अंक हासिल किए ।

तो अंग्रेजी में अंक प्राप्‍त किए = 30-x

गणित में 2 अंक अधिक मिलते तो प्राप्‍त अंक = x+2

अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलते तो प्राप्‍त अंक = (30-x)-3 = 27-x

अंकों का गुणनफल = 210

(x+2)(27-x) = 210

27x-x2+54-2x = 210

-x2+25x+54-210 = 0

-x2+25x – 156 = 0

x2 -25x +156 = 0

x2-12x-13x+156 = 0

x(x-12) -13(x-12) = 0

(x-12)(x-13) = 0

x = 12 या x = 13

यदि x = 12

यदि गणित में 12 अंक प्राप्‍त किए तो अंग्रेजी में प्राप्‍त अंक = 13 अंक

यदि x = 13

यदि गणित में 13 अंक प्राप्‍त किए तो अंग्रेजी में प्राप्‍त अंक = 12 अंक

प्रश्‍न 6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी. अधिक लम्‍बा है । यदि बडी भुजा छोटी भुजा से 30 मी. अधिक हो तो खेत की भुजाएं ज्ञात कीजिए ।

पाईथोगोरस प्रमेय के अनुसार

(कर्ण)2 = (आधार)2 + (लम्‍ब)2

(x+60)2 = (x)2 + (x+30)2

x2+120x+3600 = x2 + x2+60x+900

0 = x2 + x2+60x+900 – x2-120x-3600

0 = x2-60x-2700

x2-60x-2700 = 0

x2 -90x+30x-2700 = 0

x(x-90) +30(x-90) = 0

(x-90)(x+30) = 0

x = 90 या x = -30 (यह संभव नहीं)

अत: आयताकार खेत की छोटी भुजा की लंबाई = 90 मी.

तथा बड़ी भुजा की लंबाई = 120 मी.

प्रश्‍न 7. दो संख्‍याओं के वर्गों का अंतर 180 है । छोटी संख्‍या का वर्ग बड़ी संख्‍या का आठ गुना है । दोनों संख्‍याएं ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना बड़ी संख्‍या x है तथा छोटी संख्‍या y है ।

छोटी संख्‍या का वर्ग = बड़ी संख्‍या का आठ गुना

y2 = 8x …………. (i)

दोनों संख्‍याओं के वर्गों का अंतर = 180

x2 – y2 = 180

x2 – 8x = 180     ( y2 = 8x)

x2 – 8x – 180 = 0

x2 -18x +10x – 180 = 0

x(x-18) +10(x-18) = 0

(x-18)(x+10) = 0

x = 18 या x = -10 (यह संभव नहीं)

यदि बड़ी संख्‍या = 18

तो छोटी संख्‍या = $\sqrt{8(18)}=\sqrt{144}=\pm 12$

प्रश्‍न 8. एक रेलगाड़ी समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है । यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती । रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए ।

हल:- माना रेलगाड़ी की चाल x km/h है ।

रेलगाड़ी द्वारा 360 km दूरी तय करने में लगा समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}=\frac{360}{�}$ घंटा

यदि चाल 5 km/h अधिक अर्थात x+5 होती तो लगा समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}=\frac{360}{�+5}$ घंटा

समय में अंतर = 1 घंटा

 $\frac{360}{�}-\frac{360}{�+5}$ = 1

  $\frac{360(�+5)-360�}{�(�+5)}$ = 1

  $\frac{360�+1800-360�}{{�}^2+5�}$ = 1

 1800 = x2+5x

0 = x2+5x-1800

x2+45x-40x-1800 = 0

x(x+45) -40(x+45) = 0

(x-40)(x+45) = 0

x = 40 या x = -45 (यह संभव नहीं)

अत: रेलगाड़ी की चाल 45 km/h है ।

प्रश्‍न 9. दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9  घंटों में भर सकते हैं । बड़े व्‍यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्‍यास वाले नल से 10 घंटे समय कम लेता है । प्रत्‍येक द्वारा अलग से हौज को भरने में समय ज्ञात कीजिए 

प्रश्‍न 10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्‍सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा कम समय लेती है ( मध्‍य स्‍टेशनों के मध्‍य ठहराव का समय ध्‍यान में न लिया जाए ) यदि एक्‍सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो तो दोनों रेलगाड़ीयों की औसत चाल ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना सवारी गाड़ी की औसत चाल x km/h है ।

तो एक्‍सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = x+11 km/h

सवारी गाड़ी द्वारा 132 km यात्रा करने में लगा समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}=\frac{132}{�}$ घंटा 

तथा एक्‍स्‍प्रेस गाड़ी द्वारा 132 km यात्रा करने में लगा समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}=\frac{132}{�+11}$ घंटा

प्रश्‍नानुसार  $\frac{132}{�}-\frac{132}{�+11}$ = 1

 $\frac{132(�+11)-132�}{�(�+11)}$  = 1

  $\frac{132�+1452-132�}{{�}^2+11�}$ = 1

  $\frac{1452}{{�}^2+11�}$ = 1

1452 = x2+11x

0 = x2+11x -1452

x2+44x-33x-1452 = 0

x(x+44) -33(x+44) = 0

(x-33)(x+44) = 0

x = 33 या x = -44

अत: सवारी गाड़ी की औसत चाल 33 km/h है ।

तथा एक्‍स्‍प्रेस गाड़ी की औसत चाल = 33+11 = 44 km/h है ।

प्रश्‍न 11. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2 है । यदि उनके परिमापों का अंतर 24 m है तो दोनों वर्गों की भुजाएं ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना पहले वर्ग की भुजा की लंबाई x मीटर है ।

तथा दूसरे वर्ग की भुजा की लंबाई y मीटर है ।

वर्गों के परिमापों का अंतर = 24 मीटर

4x – 4y = 24

4(x-y) = 24

x-y = 6

x-6 = y …….. (i)

दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग = 468 m2

x2 + y2 = 468

x2 + (x-6)2 = 468   (समी. 1 से y = x-6 )

x2 + x2 -12x + 36 = 468

2x2 – 12x – 432 = 0

x2 – 6x – 216 = 0 ( दोनों पक्षों में 2 का भाग करने में )

x2 – 18x + 12x – 216 = 0

x(x-18) +12(x-18) = 0

(x-18)(x+12) = 0

x = 18 या x = -12 ( यह संभव नहीं )

अत: पहले वर्ग की भुजा की लंबाई = 18 मीटर

तथा दूसरे वर्ग की भुजा की लंबाई = 18-6 = 12 मीटर

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