Math class 10th exercise 1.4

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Math class 10th exercise 1.4

वास्तविक संख्याएँ

Math Class Tenth hindi version एनसीईआरटी  बोर्ड के प्रश्नों के हल

एनoसीoइoआरoटीo अभ्यास प्रश्नावली 1.4 का हल(Solution of NCERT Exercise 1.4)

 प्रश्नावली 1.4 का हल

प्रश्न संख्या: 1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं:

(i) $\frac{13}{3125}$

हल:

$\frac{13}{3125}=\frac{13}{5^5}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार सांत होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $5^n$, के रूप का है, अत: दी गई संख्या $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

अत: उत्तर = हाँ, सांत

(ii) $\frac{17}{8}$

हल:

$\frac{17}{8}=\frac{17}{2^3}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार सांत होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n$, के रूप का है, अत: दी गई संख्या $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

अत: उत्तर = हाँ, सांत

(iii) $\frac{64}{455}$

हल:

$\frac{64}{455}=\frac{64}{5\times 7\times 13}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^n$, के रूप का नहीं है, अत: दी गई संख्या $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार असांत है।

अत: उत्तर = नहीं। इसका दशमलव प्रसार असांत है।

(iv) $\frac{15}{1600}$

हल:

$\frac{15}{1600}=\frac{15}{2^6\times 5^2}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार सांत होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $5^n$, के रूप का है, अत: दी गई संख्या $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

अत: उत्तर = हाँ, सांत

(v) $\frac{29}{343}$

Solution:

$\frac{29}{343}=\frac{29}{7^3}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^n$, के रूप का नहीं है, अत: दी गई संख्या $\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार असांत है।

अत: उत्तर = नहीं। इसका दशमलव प्रसार असांत है।

(vi) $\frac{23}{2^3{5}^2}$

हल:

दिया गया है, $\frac{23}{2^3\times 5^2}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार सांत होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $5^n$, के रूप का है, अत: दी गई संख्या $\frac{23}{2^3\times 5^2}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

अत: उत्तर = हाँ, सांत

(vii) $\frac{129}{2^2{5}^7{7}^5}$

हल :

दिया गया है, $\frac{129}{2^2\times 5^7\times 7^5}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^n$, के रूप का नहीं है, अत: दी गई संख्या $\frac{129}{2^2\times 5^7\times 7^5}$ का दशमलव प्रसार असांत है।

अत: उत्तर = नहीं। इसका दशमलव प्रसार असांत है।

(viii) $\frac{6}{15}$

Solution:

Given, $\frac{6}{15}$

$=\frac{6}{3\times 5}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^n$, के रूप का नहीं है, अत: दी गई संख्या $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार असांत है।

अत: उत्तर = नहीं। इसका दशमलव प्रसार असांत है।

(ix) $\frac{35}{50}$

हल :

$\frac{35}{50}=\frac{35}{2}\times 5^2$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार सांत होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $5^n$, के रूप का है, अत: दी गई संख्या $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

अत: उत्तर = हाँ, सांत

(x) $\frac{77}{210}$

हल:

$\frac{77}{210}=\frac{11\times 7}{30\times 7}$

$=\frac{11}{30}=\frac{11}{2\times 5\times 3}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दिए गये परिमेय संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^n$, के रूप का नहीं है, अत: दी गई संख्या $\frac{77}{210}$ का दशमलव प्रसार असांत है।

अत: उत्तर = नहीं। इसका दशमलव प्रसार असांत है।

प्रश्न संख्या: 2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।

(i) $\frac{13}{3125}$

हल :

$\frac{13}{3125}=\frac{13}{5^5}$

$=\frac{2^5\times 13}{2^5\times 5^5}$

$=\frac{32\times 13}{{10}^5}$

$=\frac{416}{{10}^5}$

$=0.00416$ उत्तर

(ii) $\frac{17}{8}$

हल :

$\frac{17}{8}=\frac{17}{2^3}$

$=\frac{17\times 5^3}{2^3\times 5^3}$

$=\frac{17\times 125}{{10}^3}$

$=\frac{2125}{{10}^3}$

$=2.125$ उत्तर

(iv) $\frac{15}{1600}$

हल :

$\frac{15}{1600}=\frac{5\times 3}{2^6\times 5^2}$

$=\frac{3}{2^6\times 5}$

$=\frac{3\times 5^5}{2^6\times 5\times 5^5}$

$=\frac{3\times 3125}{2^6\times 5^6}$

$=\frac{9375}{{10}^6}$

$=0.009375$ उत्तर

(vi) $\frac{23}{2^3{5}^2}$

उत्तर:

$\frac{23}{2^3\times 5^2}=\frac{23\times 5}{2^3\times 5^2\times 5}$

$=\frac{115}{2^3\times 5^3}$

$=\frac{115}{{10}^3}$

$=0.115$ उत्तर

(viii) $\frac{6}{15}$

हल :

$\frac{6}{15}=\frac{2\times 3}{5\times 3}$

$=\frac{2}{5}=\frac{2\times 2}{2\times 5}=\frac{4}{10}$

$=0.4$ उत्तर

(ix) $\frac{35}{50}$

हल:

$\frac{35}{50}=\frac{5\times 7}{5\times 10}$

$=\frac{7}{10}=0.7$ उत्तर

प्रश्न संख्या: 3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसा नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है य नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और $\frac{p}{q}$ के रूप हं तो $q$ के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में आप क्या कह सकते हैं ?

(i) 43.123456789

हल:

दिया गया है,

43.123456789

चूँकि दिये गये संख्या का दशमलव प्रसार सांत है, अर्थात दी गई संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, तथा इस स्थिति में दी गई संख्या का विभाजक $q$, $2^n{5}^m$ के रूप का होगा।

अत: दी गई संख्या के विभाजक का अभाज्य गुणनखंड $2^n$ या $5^m$ के रूप का या दोनों रूप का है। उत्तर

(ii) 0.120120012000120000 . . . . .

हल:

दिया गया है, 0.120120012000120000 . . . . .

चूँकि दी गई संख्या का दशमलव प्रसार असांत है, अत: दी गई संख्या का दशमलव प्रसार एक असांत तथा अनावर्ती है। अत: दी गई संख्या अपरिमेय है।

अपरिमेय उत्तर

(iii) $43.\overline{123456789}$

हल:

दिया गया है, $43.\overline{123456789}$

हम जानते हैं कि एक किसी परिमेय संख्या (Rational number) $x=\frac{p}{q}$ का विभाजक (Denominator), $q$ यदि $2^n{5}^n$ के रूप में नहीं होता है जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं । तब $x$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

चूँकि दी गई संख्या का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

अर्थात दी गई संख्या एक परिमेय संख्या है। लेकिन इसके विभाजक के अभाज्य गुणनखंड में के अतिरिक्त $2$ के $5$ अतिरिक्त अन्य संख्या भी है।