Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

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 Board Exam Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

यहाँ कक्षा 10 गणित (NCERT) के अध्याय 10 – वृत्त (Circles) की Exercise 10.1 

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🟠 अध्याय 10: वृत्त – परिचय

इस अध्याय में हम वृत्त से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुणों को सीखते हैं, विशेषकर स्पर्शरेखा (Tangent) और उसके गुणधर्म। यह अध्याय त्रिभुज, कोण और त्रिकोणमिति के पिछले ज्ञान को भी जोड़ता है।

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📘 Exercise 10.1: मुख्य बिंदु (Key Concepts)

इस अभ्यास में हम निम्नलिखित बातों को समझते और उपयोग करते हैं:

🔹 स्पर्शरेखा की परिभाषा:

• स्पर्शरेखा (Tangent) वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है।

🔹 मुख्य प्रमेय:

1. "किसी वृत्त की स्पर्शरेखा, स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।"

   • यानी यदि O केंद्र है, P स्पर्श बिंदु है, और रेखा l स्पर्शरेखा है, तो:

     $$OP \perp l$$

🔹 दूसरा सिद्धांत:

2. "किसी बाह्य बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं।"

   • यदि किसी बाहरी बिंदु A से दो स्पर्शरेखाएं AP और AQ खींची जाती हैं (जहां P और Q वृत्त पर स्पर्श बिंदु हैं), तो:

     $$AP = AQ$$

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✅ Ex 10.1 में क्या करना होता है?

• दिए गए चित्रों में त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच कोण को पहचानना।

• स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात करना जब केंद्र से दूरी दी गई हो।

• प्रमेयों का प्रयोग करके त्रिकोणों में प्रमेयों को लागू करना।

• सरल त्रिकोणमिति (Pythagoras Theorem) का उपयोग करना।

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📚 Ex 10.1 में कुल प्रश्न: 4

प्रश्नों में मुख्यतः निम्न प्रकार के कार्य होते हैं:

• चित्र के अनुसार त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच कोण बताना।

• किसी बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाई ज्ञात करना।

• प्रमेयों का प्रयोग करके दूरी ज्ञात करना।

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प्रश्न 1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

हल ; अनगिनत

प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

1. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ___________ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
2. वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ____________ कहते हैं।
3. एक वृत्त की ____________ समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
4. वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को _____________ कहते हैं।

हल

1. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
2. वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
3. एक वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
4. वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं।

प्रश्न 3. 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PR केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी PQ की लम्बाई है-
(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) √119 सेमी

प्रश्न 4. एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समान्तर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।