Math 10th exercise 1.1

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वास्तविक संख्याएँ

Math Class Tenth hindi version एनसीईआरटी तथा मैट्रिक बोर्ड के प्रश्नों के हल

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प्रमेय: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

(Theorem: Euclid’s Division Lemma)

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार दो धनात्मक पूर्णांक $a$ तथा $b$, दिये रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ $q$ तथा $r$ विद्यमान हैं कि $a=bq+r,0\le r<b$

यहाँ $q$ = भागफल (Quotient) तथा $r$ = शेष (Remainder) है।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (कलन विधि) इसी प्रमेयिका (Lemma) पर आधारित है। यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (कलन विधि) दिये गये दो धनात्मक पूर्ण संख्याओं का HCF (महत्तम समापवर्तक) निकालने की एक विधि है।

दो धनात्मक पूर्ण संख्याओं, यथा $c$ तथा $d$, जहाँ $c>d$, का HCF (महत्तम समापवर्तक) निम्नांकित steps (चरणों) के अनुसरण द्वारा निकाला जा सकता है :

Step: 1. $c$ और $d$ के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कीजिए। इसलिए, हम ऐसे $q$ और $r$ ज्ञात करते हैं कि $c=dq+r,0\le r<d$.

Step: 2. यदि $r=0$ है, तो $d$ पूर्णांकों $c$ और $d$ का HCF है। यदि $r\ne 0$ है, तो $d$ और $r$ के लिये यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कीजिए।

Step: 3. इस प्रक्रिया को तबतक जारी रखा जाता है, जबतक कि शेषफल 0 न प्राप्त हो जाए। इसी स्थिति में, प्राप्त भाजक ही वांछित HCF है।

NCERT अभ्यास प्रश्नावली 1.1

 मैट्रिक बोर्ड प्रश्नावली 1.1 का हल

प्रश्न संख्यां: 1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्होरिथ्म का प्रयोग कीजिए:

(i) 135 तथा 225

हल:

यहाँ दिया गया है, 135 and 225, जिसमें 225> 135.

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर हम पाते हैं कि

$225=135\times 1+90$

यहाँ चूँकि शेष $90\ne 0$, अत: पुन: 135 तथा 90 के लिये यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं कि

$135=90\times 1+45$

यहाँ चूँकि शेष $45\ne 0$, अत: पुन: 90 तथा 45 के लिये यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं कि

$90=2\times 45+0$

यहाँ चूँकि शेषफल बराबर 0 हो गया, तथा इस स्थिति में भाजक 45 है, अत: दिये गये धनात्मक पूर्णांकों 135 तथा 225 का HCF 45 है।

अत:, उत्तर = 45

(ii) $196$ तथा $38220$

हल:

यहाँ दिया गया पूर्णांक धनात्मक संख्याएँ हैं, 196 तथा 38220, जिसमें, $38220>196$

अत: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के उपयोग से हम पाते हैं कि

$38220=196\times 195+0$

यहाँ चूँकि शेषफल बराबर 0 हो गया, तथा इस स्थिति में भाजक 196 है, अत: दिये गये धनात्मक पूर्णांकों 196 तथा 38220 का HCF 196 है।

अत: उत्तर = 196.

(iii) 867 और 255

हल:

यहाँ दिया गया धन पूर्णांक संख्याएँ = 867 और 255

यहाँ चूँकि, 867 > 255, अत: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग कर हम पाते हैं कि

$867=255\times 3+102$

यहाँ चूँकि शेष $102\ne 0$, अत: पुन: 255 तथा 102 के लिये यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं कि

$255=102\times 2+51$

यहाँ पुन: चूँकि शेष $51\ne 0$, अत: पुन: 102 तथा 51 के लिये यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं कि

$102=51\times 2=0$

यहाँ चूँकि शेषफल बराबर 0 हो गया। अत: प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। तथा इस स्थिति में भाजक 51 है, अत: दिये गये धनात्मक पूर्णांकों 867 तथा 255 का HCF 51 है।

अत: उत्तर = 51

प्रश्न संख्यां: 2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1$, या $6q+3$, या $6q+5$, के रूप का होता है, जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है।

हल:

मान लिया गया कि $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तथा $b=6$.

अत: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार

किसी पूर्णांक $a\ge 0$ के लिए $a=6q+r$

जहाँ $r=$ 0, 1, 2, 6, 4, या 5 है, क्योंकि $0\le r<6$

$\therefore a=6q$ या $6q+1$ या $6q+3$ या $6q+4$ या $6q+5$.

तथा, $6q+1=2\times 3q+1=2k_1+1$ जहाँ $k_1$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

तथा, $6q+3=(6q+2)+1=2(3q+1)+1$ $=2k_2+1$, जहाँ $k_2$ एक पूर्णांक है।

उसी प्रकार, $6q+5=(6q+4)+1$ $=2(3q+2)+1=2K_3+1$ जहाँ $k_3$ एक पूर्णांक

स्पष्टत:, $6q+1,6q+3,6q+5$, $2k+1$, के प्रकार हैं, जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।

अत:, $6q+1$, 6sq+3$तथा$6q+5$,$2`, से पूर्ण रूप से विभाज्य नहीं हैं, अर्थात विषम संख्याएँ हैं।

अत: ब्यंजक के रूप में दिये गये ये सभी संख्याएँ विषम संख्याएँ है।

अत: कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1$, या $6q+3$, या $6q+5$, के रूप का होता है, जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है। Proved

प्रश्न संख्यां: 3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?

हल:

प्रश्न में वांछित स्तम्भों की अधिकतम संख्यां दी गई पूर्णांक संख्याओं 616, और 32 का HCF (महत्तम समापवर्तक) के बराबर होगी।

अत: दी गई धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ 616 तथा 32 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग कर हम पाते हैं कि

$616=32\times 19+8$

यहाँ चूँकि शेषफल $8\ne 0$ अत: अत: पुन: 32 तथा 8 के लिये यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं कि

$32=8\times 4+0$

यहाँ चूँकि शेषफल बराबर 0 हो गया। अत: प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। तथा इस स्थिति में भाजक 8 है, अत: दिये गये धनात्मक पूर्णांकों 616 तथा 32 का HCF 8 है।

अत: आर्मी अधिकतम 8 स्तम्भों में मार्च कर सकती है।

अत: उत्तर = 8.

प्रश्न संख्यां: 4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।

[संकेत : यह मान लीजिए $x$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह $3q,3q+1$ या $3q+2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को $3m$ या $3m+1$ के रूप में लिखा जा सकता है।]

हल:

मान लिया गया कि $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तथा $b=3$ है।

किसी पूर्णांक $q\ge 0$ के लिएय $a=3q+r$

जहाँ $r=0,1,2$ क्योंकि $0\le r<3$

अत: $a=3q$ या $3q+1$ या $3q+2$

या,

$a^2={\left(3q\right)}^2$ or ${(3q+1)}^2$ or ${(3q+2)}^2$

$\Rightarrow a^2=9q^2$ or$9q^2+6q+1$ or $9q^2+12q+4$

$\Rightarrow a^2=3\times \left(3q^2\right)$ or $3(3q^2+2q)+1$ or $3(3q^2+4q)+1$

$\Rightarrow a^2=3k_1\text{or}3k_2+1\text{or}3k_3+1$

जहाँ $k_1,k_2$ तथा $k_3$ धनात्मक पूर्णांक हैं।

अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।

प्रश्न संख्यां: 5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m,9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है।

हल:

मान लिया गया कि $a$ एक धनात्मक पूर्णांक तथा $b=3$ है।

∴ $a=3q+r$ जहाँ $q\ge 0$ तथा $0\le r<3$

$\therefore a=3q\text{or}3q+1\text{or}3q+2$

अब,

Case-I:

जब $a=3q$

$\therefore a^3={\left(3q\right)}^3=27q^3$

$=9\left(3q^3\right)=9m$

जहाँ $m$ एक पूर्णांक है तथा $=3q^3$

Case-II:

जब, $a=3q+1$

$\Rightarrow a^3={(3q+1)}^3$

$\Rightarrow a^3=37q^3+27q^2+9q+1$

$\Rightarrow a^3=9(3q^3+3q^2+q)+1$

$\Rightarrow a^3=9m+1$

जहाँ $m$ एक पूर्णांक है तथा $3q^3+3q^2+q$ के बराबर है।

Case-III:

जब, $a=3q+2$

$\Rightarrow a^3={(3q+2)}^3$

$\Rightarrow a^3=27q^3+54q^2+36q+8$

$\Rightarrow a^3=9(3q^3+6q^2+4q)+8$

$\Rightarrow a^3=9m+8$

जहाँ, $m$ एक पूर्णांक है तथा $3q^3+6q^2+4q$ के बराबर है।

अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m,9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है। Proved