Math 9th exercise 1.1

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नवम गणित (Mathematics Nine:Hindi Medium)एनसीईआरटी प्रश्नावली 1.1 का हल (क्लास नवम गणित)

संख्या पद्धति (नवम गणित): क्लास नौवीं गणित

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परिमेय संख्या

संख्या $r$ को यदि $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p तथा q पूर्णांक हैं और q≠1 है, तो वह परिमेय संख्या (Rational Numbers) कहलाती है।

परिमेय संख्या को भिन्न या भिन्न संख्या भी कहा जाता है।

उदाहरण

(a) 2 एक परिमेय संख्या है। क्योंकि 2 को 2/1 अर्थात $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

जहाँ p = 2 और q= 1 पूर्णांक हैं, तथा q≠0. अत:, 2 एक परिमेय संख्या है।

(b) – 2 को भी $\frac{-2}{1}$ अर्थात $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p= –2 और q = 1 पूर्णांक है तथा q≠0. अत: –2 एक परिमेय संख्या (rational number) है।

(c) उसी प्रकार $\frac{5}{2}$ भी एक परिमेय संख्या (Rational Number) है। क्योंकि $\frac{5}{2}$ पहले से ही $\frac{p}{q}$ के रूप में है, जहाँ, p= 5 और q =2 पूर्णांक है और q≠0

अर्थात

सभी प्राकृतिक संख्या, यथा: 1, 2, 3, 4, 5, . . . . को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक है तथा q≠0.

अत: सभी प्राकृतिक संख्याएँ परिमेय संख्या हैं।

उसी तरह सभी पूर्ण संख्याओं यथा 0, 1, 2, 3, 4, . . . . को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ, q≠0.

अत: प्रत्येक पूर्ण संख्या एक परिमेय संख्या है।

उसी तरह चूँकि सभी पूर्णांकों (Integers) को $\frac{p}{q}$ जहाँ q≠0 है के रूप में लिखा जा सकता है।

अत: सभी पूर्णांक (Integers) परिमेय संख्या हैं।

तुल्य परिमेय संख्याएँ (या भिन्न)

परिमेय संख्याओं का $\frac{p}{q}$ के रूप में अद्वितीय (यूनिक) निरूपण नहीं होता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q≠0

उदाहरण:

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{25}{50}$ . . . . .

चूँकि ये परिमेय संख्याएँ आपस में बराबर है तथा $\frac{p}{q}$ के रूप में हैं, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q≠0. अत: इन्हें तुल्य परिमेय संख्या या भिन्न कहा जाता है।

फिर भी, जब हम यह कहते हैं कि $\frac{p}{q}$ एक परिमेय संख्या है या जब हम $\frac{p}{q}$ को एक संख्या रेखा पर निरूपित करते हैं, तब हम यह मान लेते हैं कि q≠0 और p और q का 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, अर्थात p और q असहभाज्य संख्याएँ (co-prime numbers) हैं।

अत: संख्या रेखा पर $\frac{1}{2}$ के तुल्य अपरिमित रूप से अनेक भिन्नों में से हम $\frac{1}{2}$ लेते हैं, जो सभी को निरूपित करती है।

एनसीईआरटी प्रश्नावली 1.1 का हल (क्लास नवम गणित)

प्रश्न संख्या (1) क्या शून्य एक परिमेय संख्या है? क्या इसे आप p/q के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q≠0 है?

उत्तर:

हाँ शून्य एक परिमेय संख्या है।

शून्य (0) को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

i.e. $o=\frac{0}{1}$

यहाँ, p=0 और q=1 पूर्णांक हैं तथा q=1≠0.

प्रश्न संख्या : (2) 3 और 4 के बीच में छ: परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

प्रथम विधि

हम जानते हैं कि दो संख्याओं के बीच पड़ने वाली संख्या दोनों संख्याओं के जोड़ को 2 से भाग देने पर निकाली जा सकती है।

अर्थात किसी दो परिमेय संख्या के बीच की संख्या को उनके औसत के बराबर होगी।

यहाँ दी गई परिमेय संख्याएँ हैं, = 3 और 4

(a) अत: परिमेय संख्यां 3 एवं 4 के बीच की एक परिमेय संख्यां

= 3 और 4 का औसत

$=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}$

अत: $\frac{7}{2}$ परिमेय संख्यां 3 एवं 4 के बीच की एक परिमेय संख्यां है।

(b) 3 और 4 के बीच दूसरी परिमेय संख्या

परिमेय संख्या $\frac{7}{2}$ एवं 4 के बीच पड़ने वाली संख्या 3 और 4 के बीच पड़ने वाली दूसरी परिमेय संख्या होगी।

अत: $\frac{7}{2}$ और 4 के बीच का औसत

$=(\frac{7}{2}+4)/2=\left(\frac{7+8}{2}\right)/2$

$=\frac{15/2}{2}=\frac{15}{2\times 2}=\frac{15}{4}$

अत: $\frac{15}{4}$ दी गई परिमेय संख्या 3 एवं 4 के बीच दूसरी परिमेय संख्या है।

(c) 3 और 4 के बीच की तीसरी परिमेय संख्या

परिमेय संख्या $\frac{15}{4}$ और 4 के बीच की संख्या दिये गये परिमेय संख्या 3 और 4 के बीच की एक और परिमेय संख्या होगी।

अत: $\frac{15}{4}$ और 4 के बीच की परिमेय संख्या

$=(\frac{15}{4}+4)/2=\left((15+16)4\right)/2$

$=\left(\frac{31}{4}\right)/2=\frac{31}{4\times 2}=\frac{31}{8}$

अत: $\frac{31}{8}$ दिये गये परिमेय संख्या 3 और 4 के बीच की एक परिमेय संख्या है।

(d) परिमेय संख्या 3 और 4 के बीच की चौथी परिमेय संख्या

परिमेय संख्या $\frac{31}{8}$ और 4 के बीच पड़ने वाली परिमेय संख्या दिये गये परिमेय संख्या 3 और 4 के बीच की एक परिमेय संख्या होगी, क्योंकि $\frac{31}{8}$ दिये गये परिमेय संख्याओं 3 और 4 के बीच की एक संख्या है।

अत: $\frac{31}{8}$ और 4 के बीच की परिमेय संख्या

$=(\frac{31}{8}+4)/2=\left(\frac{31+32}{8}\right)/2$

$=\left(\frac{63}{8}\right)/2=\frac{63}{8\times 2}=\frac{63}{16}$

अत: $\frac{63}{16}$ दिये गये परिमेय संख्या 3 और 4 के बीच की एक परिमेय संख्या है।

(e) 3 और 4 के बीच की पाँचवी परिमेय संख्या

परिमेय संख्या $\frac{63}{16}$ और 4 के बीच की परिमेय संख्या दिये गये परिमेय संख्याओं 3 और 4 के बीच की एक परिमेय संखा होगी, क्योंकि, $\frac{63}{16}$ परिमेय संख्या 3 और 4 के बीच की एक परिमेय संख्या है।

अत: $\frac{63}{16}$ और 4 के बीच की एक परिमेय संख्या

$=(\frac{63}{16}+4)/2=\left(\frac{63+64}{16}\right)/2$

$=\left(\frac{127}{16}\right)/2=\frac{127}{16\times 2}=\frac{127}{32}$

अत:, $\frac{127}{32}$ दिये गये परिमेय संख्याओं 3 एवं 4 के बीच की एक परिमेय संख्या है।

(f) दिये गये परिमेय संख्या 3 और 4 के बीच की छ्ठी परिमेय संख्या

$\frac{127}{32}$ और 4 के बीच पड़ने वाली संख्या दिये गये परिमेय संख्याओं 3 और 4 के बीच की एक परिमेय संख्या होगी, क्योंकि $\frac{127}{32}$ दिये गये संख्याओं 3 और 4 के बीच की एक परिमेय संखा है।

अत: $\frac{127}{32}$ और 4 के बीच पड़ने वाली संख्या

$=(\frac{127}{32}+4)/2=\left(\frac{127+128}{32}\right)/2$

$=\left(\frac{255}{32}\right)/2=\frac{255}{32\times 2}=\frac{255}{64}$

अत: $\frac{255}{64}$ दिये गये संख्याओं 3 और 4 के बीच पड़ने वाली एक और परिमेय संख्या है।

अत:, $\frac{7}{2},\frac{15}{4},\frac{31}{8},\frac{63}{16},\frac{127}{32}$ और $\frac{255}{64}$ दिये गये परिमेय संख्याओं 3 और 4 के बीच पड़ने बाली छ: परिमेय संख्याएँ हैं। उत्तर

दिये गए परिमेय संख्याओं 3 और 4 के बीच छ: परिमेय संख्या निकालने की वैकल्पिक विधि

दी गई संख्या = 3 और 4

चूँकि हमें दी गई संख्याओं 3 और 4 के बीच छ: परिमेय संख्याओं को ज्ञात करना है।

अत: हम 6+1 अर्थात 7 को हर (डिन्यूमरेटर) लेकर दी गई संख्याओं 3 और 4 को परिमेय संख्याओं के रूप में लिखते हैं।

अत:, $3=\frac{3\times 7}{7}=\frac{21}{71}$

और, $4=\frac{4\times 7}{7}=\frac{28}{7}$

अब हमें परिमेय संख्या $\frac{21}{7}$ और $\frac{28}{7}$ के बीच छ: परिमेय संख्या निकालना है।

स्पष्टत: $\frac{21}{7}$ और $\frac{28}{7}$ के बीच पड़ने वाली छ: परिमेय संख्याएँ हैं

$\frac{22}{7},\frac{23}{7},\frac{24}{7},\frac{25}{7},\frac{26}{7}$ और $\frac{27}{7}$ उत्तर

प्रश्न संख्या (3) $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रथम विधि: दिये गये संख्याओं का औसत निकालकर उनके बीच की परिमेय संख्या निकालने की विधि

दी गई संख्याएँ हैं, $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$

(a) $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच पहले परिमेय संख्या की गणना

$\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ का औसत

$=(\frac{3}{5}+\frac{4}{5})/2$

$=\left(\frac{3+4}{5}\right)/2$

$=\frac{7/5}{2}$

$=\frac{7}{5\times 2}$

$=\frac{7}{10}$

(b) $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच दूसरी परिमेय संख्या की गणना

चूँकि, $\frac{7}{10}$ दी गई संख्याओं $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की एक परिमेय संख्या है

अत: $\frac{7}{10}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की परिमेय संख्या $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की एक परिमेय संख्या होगी।

अत: $\frac{7}{10}$ और $\frac{4}{5}$ का औसत

$=(\frac{7}{10}+\frac{4}{5})/2$

$=\left(\frac{7+8}{10}\right)/2$

$=\left(\frac{15}{10}\right)/2$

$=\frac{15}{10\times 2}$

$=\frac{15}{20}$ ----------(i)

$=\frac{5\times 3}{5\times 4}$

$=\frac{5}{4}$

(c) $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच तीसरे परिमेय संख्या की गणना

चूँकि $\frac{15}{20}$ दी गई संख्याओं $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की एक परिमेय संख्या है

अत: $\frac{15}{20}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की संख्या भी दी गई संख्याओं $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की एक परिमेय संख्या होगी।

अत: $\frac{15}{20}$ और $\frac{4}{5}$ का औसत

$=(\frac{15}{20}+\frac{4}{5})/2$

$=\left(\frac{15+16}{20}\right)/2$

$=\left(\frac{31}{20}\right)/2$

$=\frac{31}{20\times 2}$

$=\frac{31}{40}$

(d) $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच चौथे परिमेय संख्या की गणना

चूँकि, $\frac{31}{40}$ दी गई संख्याओं $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की एक परिमेय संख्या है,

अत: $\frac{31}{40}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की संख्या भी $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की एक परिमेय संख्या होगी।

अत: $\frac{31}{40}$ और $\frac{4}{5}$ का औसत

$=(\frac{31}{40}+\frac{4}{5})/2$

$=\left(\frac{31+32}{40}\right)/2$

$=\left(\frac{63}{40}\right)/2$

$=\frac{63}{40\times 2}$

$=\frac{63}{80}$

(e) $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की पाँचवी परिमेय संख्या की गणना

चूँकि, $\frac{63}{80}$ दी गई संख्याओं $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की एक परिमेय संख्या है

अत: $\frac{63}{80}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की परिमेय संख्या भी दी गई संख्याओं $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच की एक परिमेय संख़्या होगी।

अत: $\frac{63}{80}$ और $\frac{4}{5}$ का औसत

$=(\frac{63}{80}+\frac{4}{5})/2$

$=\left(\frac{63+64}{80}\right)/2$

$=\left(\frac{127}{80}\right)/2$

$=\frac{127}{80\times 2}$

$=\frac{127}{160}$

अत: $\frac{7}{10},\frac{15}{20},\frac{31}{40},\frac{63}{80}$ और $\frac{127}{160}$ दी गई संख्याओं $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ हैं। उत्तर

दो दिये गए संख्याओं के बीच की परिमेय संख्या निकालने की वैकल्पिक विधि

दी गई संख्याएँ हैं $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$

अत: दोनों संख्या के बीच की पाँच परिमेय संख्या = ?

चूँकि हमें $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच पाँच संख्याएँ ज्ञात करना है, इसलिए हम 5+1 अर्थात 6 को हर (डिन्यूमरेटर) लेकर $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ को परिमेय संख्याओं के रूप में लिखते हैं।

अत: $\frac{3}{5}=\frac{3\times 6}{5\times 6}=\frac{18}{30}$

तथा, $\frac{4}{5}=\frac{4\times 6}{5\times 6}=\frac{24}{30}$

अब $\frac{18}{30}$ और $\frac{24}{30}$ के बीच की पाँच परिमेय संख्याएँ है

$\frac{19}{30},\frac{20}{30},\frac{21}{30},\frac{22}{30}$ और $\frac{23}{30}$

चूँकि, $\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$

और, $\frac{21}{30}=\frac{7\times 3}{10\times 3}=\frac{7}{10}$

और, $\frac{22}{30}=\frac{11\times 2}{15\times 2}=\frac{11}{15}$

अत: $\frac{18}{30}$ और $\frac{24}{30}$ के बीच की पाँच परिमेय संख्या हैं

$\frac{19}{30},\frac{2}{3},\frac{7}{10},\frac{11}{15}$ और $\frac{23}{30}$ उत्तर

प्रश्न संख्या (4) नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य ? कार्ण के साथ अपने उत्तर दीजिए।

(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

उत्तर: सत्य

कारण: चूँकि शून्य के साथ प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्या होती है। अत: प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।

उत्तर: असत्य

कारण: सभी प्राकृत संख्याएँ, शून्य तथा ऋणात्मक संख्याएँ पूर्णांक कहलाती हैं। लेकि पूर्ण संख्या केवल शून्य के साथ केवल प्राकृत संख्या हैं, ऋणात्मक संख्या नहीं। अत: प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या नहीं है।

कारण (2): चूँकि पूर्ण संख्याएँ ऋणात्मक नहीं होतीं हैं जबकि पूर्णांक में ऋणात्मक संख्या भी होती हैं।

(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

उत्तर: असत्य

Reason: पूर्ण संख्या में भिन्न नहीं होता, जबकि परिमेय संख्याओं में भिन्न संख्याएँ भी होती हैं। जैसे $\frac{1}{2}$ एक परिमेय संख्या है, लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है।